... Ся тука пиша едно решение набързо:
Нека триъгълникът ми е тр. АВС и АР и ВЕ да са ъглополовящите (вътрешните) и както си му е там реда Е е от АС, а Р е от ВС. Нека построим
тр. АРМ = тр. ЕВС, като АР=ВЕ (по условие), АМ=ЕС и РМ=ВС (по построение). А, да, и М и С са в една полуравнина спрямо АР. Нека Н е от АР, т. че МН е ъглополовяща на < АМР. Ако О е пресечната точка на ъглополовящите, то
МН = СО (ъглополовящи в еднакви триъгълници).
Нека < А=2а, < В=2в, < С=2с. Тъй като < АСР = < АМР = 2с, то точките А, Р, С и М лежат на една окръжност. Тогава < РМС = < САР = а (вписани ъгли) и следователно < НМР = < НМП + < РМС = 1/2 (< АМР) + а = с+а. Колкото до ъгъл
< СОР = < РАС + < АСО = а+с. Следователно
< НМС + < НОС = а+с + (180 - < СОР) = а+с+180-а-с=180.
Това означава, че точките Н,О,С и К лежат на една окръжност. Да, но хордите МН = СО са равни. Оттук вече има разни варианти. Например, от доказаното досега (по специално успоредността на АР и МС) следва, че < МСА = <САР = а. Да, но < АСМ =< АРМ = а (вписани ъгли с една дъга). Обаче, по построение
< АРМ = < ЕВС = в (съответни ъгли в еднакви триъгълници). Следователно
< АРМ = а = в, което значи, че тр. АВС е равнобедрен.