Vyarno e dori Ako A e n x m matrica i B e m x n matrica, kato togava sravnyavame nenulevite sobstveni stoinosti. Vyv vseki sluchai neka r e sobstvena stoinost na AB, i r ne e 0. Togava sushtestvuva vektor x <> 0, takuv che
ABx=rx. Ottuk BABx=rBx. Ostava samo da pokazhem, che Bx e vektor razlichen ot nula. Ako Bx=0, to rx=ABx=0, i shtom r <>0, to x=0, koeto protivorechi na fakta, che x e sobstven vektor na AB. Sledovatelno Bx e nenulev vektor i togava e sobstven vektor na BA. A ako r =0 e sobstvena stoinost na AB to 0 e sobstvena stoinost na BA, shtoto det(AB)=0=det(BA).

Ako pone edna ot matricite e obratima, da rechem A, to ima i po-lesno dokazatelstvo.
det(AB-rI)=det(A*(AB-rI)A)=det(BA-rI)
kydeto A* e obratnata matrica na A. Tova pokazva, che harakteristichnite polinomi na dvete matrici sa edni i syshti. Sledovatelno ne samo mnozhestvata ot sobstveni stoinosti na AB i BA e edno i syshto, no i sobstvenite stoinosti se sreshtat v tyah s edna i syshta kratnost. Poslednoto tvurdenie e vyarno i za sluchaya, kogato i dvete matrici sa neobratimi. Prosto po-gornoto dokazatelstvo tryabva da se precizira. Tova go ostavyame za domashno.

Boian