1. Интервала е [0, 6]
Допускаме, че едното - за определеност х < 0:
1.1. х не е рационално
Ако х е рационално, то и у ще бъде рационално, като разлика на две рационални числа. Тогава имаме за х^у два случая в зависмост от знаменателя на несъкратимата дроб у=p/q:
- ако q = 2k - тогава х^у е имагинерно - няма решение
- ако q = 2k+1 - тогава х^у < 0, у^х > 0 - няма решение, поради строгостта на неравенствата.
1.2. х не е ирационално
Ако х е ирационално, то и у ще бъде ирационално, като разлика на рационално с ирационално. Тогава
x^y = e ^{ lnx * y } = e ^ { ( ln|x| + i * pi ) * y }
тъй като ln(-1) = i * pi и в крайна сметка получаваме имагинерна компонента на числото отляво.
За дясната част ще имаме
у^x = e ^ {lny * x },
което си е чисто реално число. И така, ако x < 0 и е ирационално имаме
a+i.b = c, b <> 0, което очевидно е невъзможно.

Ако едното, за определеност у > 6, тогава х < 0 и съгласно 1.1 и 1.2 задачата няма решение.

0 и 6 очевидно не са решения - така че интервала става отворен - търсим решения в интервала (0,6).

Системата се свежда до изследване на фунцкията
f(x) = x^(6-x) - (6-x)^x = e^{ (6-x) * lnx } - e^{ x * ln(6-x) }

Тъй като експонентата е строго растяща то имаме зависимостта:
f(x) = 0 тогава и само тогава, когато (6-h) * lnx = x * ln(6-x)

Последното уравнение след просто преобразувание - делене на x*(6-x) (допустимо, тъй като интервала е отворен), се свежда до:
lnx / x = ln(6-x) / (6-x)

Полагаме g(x) = lnx / x, h(x) = ln(6-x) / (6-x).

2. Веднага се вижда първото решение на g(x) = h(x) :
x = 6-x
x = 3

3. Второто наблюдение е, че изходната фунцкия f(x) е антисиметричност спрямо правата x=3 - проверява се с просто заместване.

За да проучим наличието на други корени, ще изследваме поведенията на фунцкиите g(x) и h(x) в интервала (0, 3), тъй като те ще имат съответни в интервала (3,6) поради антисиметричността на f(x).

g(x) не е дефинирана в точката 0. Но границата и в тази точка отдясно (x->0, x>0) e минус безкрайност.
g'(x) = (1/x * x - 1.lnx ) / x^2 = (1 - lnx) / x^2
Точката x=e може да бъде екстремум:
g"(x) = (-1/x*x^2 - 2*x*lnx) / x^4 = x/x^4 * ( -1 - 2*lnx ) = - (1 + 2 * lnx) / x^3
g"(e) = -3/e^3 < 0
Така поведението на g(x) в интервала (0,3) е :
4. Ръст от (0, минус безкрайност) до (е, 1/е) и след това спад до (3, ln3/3 )

За h(x) имаме:
h(0) = ln6 / 6
h'(x) = ((6-x) / (6-x) - (-1)*ln(6-x)) / (6-x)^2 = (1 + ln(6-x)) / (6-x)^2
Тъй като (6-x) > 1 когато х се мени в интервала (0,3), то h'(x) > 0 при х от (0,3).
5. Строго растяща в интервала (0,3) от (0, ln6/6) до (3, ln3/3)

6. Има точно едно х в интервала (0,3), за което h(x) = g(x)
6.1 Допускаме, че няма. Тогава тъй като h(0) > g(0) и h(3) = g(3) ще следва, че разликата по между им намалява. Нека тя е c в точката е (максимума на g(x)). От точка е надясно тази разлика ще расте, тъй като от една страна h(x) е строго растяща, а от друга - g(x) e строго намаляваща в този интервал. Така не може да се изпълни g(3) = h(3).
6.2 От 6.1 имаме, че имат поне една пресечена точка в интервала (0,3). Нека тя е x_0. Ако тя е от е (максумума на g(x) ) (включително и е) надясно стигаме пак до противоречието от 6.1 - няма как да е изпълнено h(3) = g(3). Така имаме, че
7. x_0 < e
В интервала (x_0, 3) h(x) и g(x) не могат да имат пресечени точки, тъй като (пак от 6.1) няма да бъде удовлетворено h(3) = g(3).

Обединявайки ги със симетричния случай спрямо х=3 получаваме, че системата
х^у = у^х
х + у = 6

има точно три решения:

(x_0, 6 - x_0), (3, 3 ), (6 - x_0, x_0), където 0 < х_0 < e

Общ извод на решението x_0 не се сещам. То може да се търси по метода на деление на интервала. Тук с налучкване се вижда, че е 2.

Задачата може да се обобщи до
x^y = y^x
x + y = z

Ако z e рационално, всички дотук направени разсъждения остават в сила и така задачата има
1. Три решения (x_0, z - x_0), (z/2, z/2) , (z - x_0, x_0), където пак x_0 < e, когато z / 2 > e
2. Едно решение (z/2, z/2), когато z/2 <= e

Ако z e ирационално ще помисля и може да го донапиша ...

Човек е толкова велик, колкото са велики мечтите му!

Редактирано от RAGE на 04.12.01 17:12.