Гьодел е доказал много теореми. Коя по-точно?
Сигурно имаш в пред вид теоремите за непълнотата, доказани от Гьодел през 1930. От развитата техника в тяхното доказателство е произлязла цяла дисциплина в математиката, а именно “Теория на рекурсията”, която се чете (само увод) на студентите по информатика в СУ по дисциплината “Теория на програмите”.

Ще цитирам тези деве теореми, за да се знае за какво говорим:


П ъ р в а т е о р е м а з а н е п ъ л н о т а т а. Нека T е формална теория, съдържаща аритметиката. Тогава съществува твърдение Ф, което твърди своята собствена непротиворечивост и такова, че

(i) ако T е непротиворечива, то T |--/- Ф, или казано с думи, Ф не е формално изводимо от T;

(ii) ако Т е омега-непротиворечива, то T |--/- ~Ф, или казано с думи, ~Ф (т.е. “не Ф”) не е формално изводимо от T.


В т о р а т е о р е м а з а н е п ъ л н о т а т а. Нека T е непротиворечива формална теория, съдържаща аритметиката. Тогава имаме

Т |--/- Con(T), или казано с думи, от T не е формално изводимо Con(T) ,

където Con(T) е твърдение, изразяващо непротиворечивостта на теорията Т.


Има и още важни теореми доказани от Гьодел. На пример, в теория на моделите имаме “теорема за пълнотата на Гьодел”. След това имаме теоремa на Гьодел която твърди, че континуум хипотезата (CH) не противоречи на теория на множествата. По късно Коен, 1969 създава метода на форсинга с който доказва, че и ~CH не противоречи на теория на множествата.