С несвършения глагол предполага някаква моментност на действието, докато свършеният вариант е по-обобщаващ и евентуално по-отдалечен в бъдещето:

Трябва да започвам (да работя, че сега ще дойде шефа и ще ми се скара).
Трябва да започна (да работя, че от месеци нищо не съм свършил).

Като се замисля в разговорния език има и следната употреба:

— Кога почваш работа?
— Трябва да започвам утре. (вм. „Трябва да започна утре.”)

Тази употреба ми се струва преди всичко емфатична или влагаща повече продължителност и усилие в действието (примерът „Трябва да започвам да свиквам с ранното ставане.” е точно такъв). Изобщо струва ми се, че в разговорния език, където има „трябва да започна”, може да се сложи и „трябва да започвам”, като значението се променя твърде тънко и фино за да се долови от чужденец. Не съм сигурен доколко това е допустимо в книжовния език.