Хоризонтът е равнина, перпендикулярна на нормалата в земната точка, в която ти се намираш. Слънцето може да е на произволно място на ръба на тази равнина в състояние "залез". Това, че правата свързваща точката в която си ти и луната е наклонена спрямо тази равнина позволява в зависимост от положението на слънцето на хоризонта да се огрява различна част от луната, съответно да се мени наклона на линията на разреза, разделящ огряната и неогряната част. Просто разгледай крайните случаи, слънцето изцяло на юг върху хоризонта, ще виждаш огряна само част от долната страна на луната, с хоризонтална разделителна линия между крайните точки. Ако слънцето е строго на север, разделителната линия също ще е хоризонтална. Ако е точно на екватора, линията трябва да е строго вертикална. Е, помисли си, сега сме лятно слънцестоене, слънцето залязва към 20 градуса над екватора.

"Хоризонтът е равнина, перпендикулярна на нормалата в земната точка, в която ти се намираш. Слънцето може да е на произволно място на ръба на тази равнина в състояние "залез"."
Точно така, съгласен съм!

"Това, че правата свързваща точката в която си ти и луната е наклонена спрямо тази равнина позволява в зависимост от положението на слънцето на хоризонта да се огрява различна част от луната, съответно да се мени наклона на линията на разреза, разделящ огряната и неогряната част."
И с това съм напълно съгласен!
"Просто разгледай крайните случаи, слънцето изцяло на юг върху хоризонта", имаш предвид точно под луната, "ще виждаш огряна само част от долната страна на луната, с хоризонтална разделителна линия между крайните точки".
Да точно така!

" Ако е точно на екватора, линията трябва да е строго вертикална. Е, помисли си, сега сме лятно слънцестоене, слънцето залязва към 20 градуса над екватора."
За какъв екватор пишеш, ако е екватора на земята, какво общо има той???!

Варианта слънцето да е точно под луната при изгрев или залез е възможен само ако наблюдателя се намира в зоната около екватора на земята, тогава терминаторът е хоризонтален. Някъде около полюсите е възможно слънцето и луната да са едновременно на хоризонта (без да са в срещуположни посоки, без да е пълнолуние), тогава терминаторът би трябвало да е перпендикулярен на хоризонта. Когато луната е високо над хоризонта, а слънцето изгрява или залязва, терминаторът трябва да е под някакъв ъгъл, но така, че ако разделим луната на две равни половини с линия успоредна на хоризонта, то по-голямата част от осветената част трябва да попадне в долната половина, нали така?!!! Но не е така, по-голяма част от осветената част е в горната половина, трябваше просто да погледнете луната!!!

Всичко това хоризонт, нормала, че и екватора намеси, само усложнява картинката.
Има много по-просто решение, когато не са на една линия (пълнолуние или новолуние) наблюдателят, слънцето и луната сключват един триъгълник, този триъгълник лежи в една равнина, тази равнина реже луната на две половини, като осветената част трябва да е по равно в двете половини. Равнината в която лежат наблюдателя и двете тела няма нищо общо с хоризонта, той не ни интересува, единственото което е нужно е двете тела да са над него (хоризонта), линията с която ще свържем слънцето и луната лежи в тази равнина и трябва да раздели осветената част на луната на две равни части.
Трябва, трябва, но като погледнеш не е така, слънцето долу, а пък осветената част на луната извъртяна нагоре, а не надолу.