|
Нека да представим текстовото условие, което дава необходимите данни за извеждане на Лоренцовите трансформации, а именно:
Инерциална система K'(x',t') се движи надясно спрямо неподвижна система K(x,t) със скорост v по осите X'=X . В момента t=0 на съвпадане на началата O'=O на системите, от този общ център се излъчва светлинен сигнал също надясно по X'=X. След време t в K , съответно t' в K' , фронтът на сигнала ще има координата x в K, съответно x' в K' .
Тази постановка очертава контурите на така наречената най-обща концепция:
На координатите х, y, z и време t на произволно събитие в система К да намерим съответните координати х', y', z' и време t' на събитието в система K'.
Ако тръгнем направо към такова общо решение обаче, ще се озовем в безисходица, което положение е нужно да откроим за пълна яснота на проблема с трансформациите.
Съгласно текстовото условие, след време t система К' ще се премести на разстояние v.t и, значи, за този момент ще са в сила следните координати на събитието в система К':
х'=х-v.t, y'=y, z'=z (1)
Пряко от (1) намираме и преобразуанията за обратно движеща се система К:
х=х'+v.t', y=y', z=z' (2)
Изрази (1), (2), всъщност, са Галилеевите трансформации на координатите. Те, знаем, са приложими при относителни скорости v, значително по-малки от скоростта на светлината, защото в такива условия мащабите на системите се считат за практически тъждествени. Що се отнася до времето, засега само ще констатираме факта, че то не може да се преобразува по никакъв конвенционален способ. Затова, в случая, е в сила t'=t, t=t'.
Както е известно, тази ограниченост се преодолява с намиране на трансформации във вида (предполагайки тяхната линейност):
х'=к(х-v.t), y'=y, z'=z и х=к(х'+v.t'), y=y', z=z' (3)
С въвеждане на величината к (капа) фактически отразяваме зависимост на формули (3) от скоростта v за целия диапазон на скорости. Така въпросът опира до определянето на к. И тук решаването на всеизвестната обща задача удря на камък. Такова определяне при нея е принципно невъзможно, тъй като параметри К са измерени с мащаби К, а параметри К' - с мащаби К' и няма никаква възможност за реализиране на връзка между тези две измервания.
Именно с цел осъществяването на такава връзка, в постановката се въвежда светлинен сигнал, чиято скорост, като непроменлива в двете системи, се явява единен мащаб за съпоставяне на техните параметри. Т.е. движението на сигнала, съвместено с относителното движение между системите, вече носи нужните данни за определяне на величината к.
Оказва се, трябва да започнем извеждането на трансформациите, решавайки първо частната задача за преобразуване на координатите и времето на фронта на светлинен сигнал. Другояче казано, трябва да проведем същите разсъждения, само че отнесени за светлинния сигнал. Друг начин за постигане на целта не съществува.
В тази връзка става задължително да отличим частните обозначения при сигнала, от обозначенията за общия случай. Ще направим това с поставяне на индекс "*" за частните. Впрочем, нека напомним, такова отличаване се налага от обстоятелството, че координатите и времето при сигнала са взаимозависими, подчинени на закономерностите x*=c.t* и x'*=c.t'*, докато ползваните с обща валидност неиндексирани x, t и x', t' за произволните събития са независими, свободно избираеми. Така че смесването на едните с другите е недопустимо!
И така, след време t* от изпускането на светлинния сигнал, система К' ще се премести на разстояние v.t* и, значи, за този момент ще са в сила следните координати на фронта на сигнала в система К' (същото важи и за обратно движеща се система К):
х'*=х*-v.t*, y'*=y*, z'*=z* и х*=х'*+v.t'*, y*=y'*, z*=z'* (1*)
(тъй като координатите по осите Y, Z, Y', Z' не се променят, нататък ще ги пропускаме)
От формули (1*), въвеждайки величината к* и вземайки предвид връзките x*=c.t* и x'*=c.t'*, получаваме следната вариантност на преобразуванията:
форма1) х'*=к*(х*-v.t*), форма2) х'*=к*(х*-v.х*/с), форма3) х'*=к*(1-v/c).х* респективно,
форма1) х*=к*(х'*+v.t'*), форма2) х*=к*(х'*+v.х'*/с), форма3) х*=к*(1+v/c).х'* (2*)
На база същите връзки, като разделим (2*) на скоростта с на светлината, още тук директно стигаме и до съответните варианти трансформации за времето:
форма1) t'*=к*(t*-v.t*/c), форма2) t'*=к*(t*-v.х*/c2), форма3) t'*=к*(1-v/c).t* респективно,
форма1) t*=к*(t'*+v.t'*/c), форма2) t*=к*(t'*+v.х'*/c2),форма3) t*=к*(1+v/c).t'* (3*)
Сега, за определяне на величината к*, направо от равенства (3*) изваждаме явяващата се крайно решение трета форма:
t'*=к*(1-v/c).t* и t*=к*(1+v/c).t'* (4*)
Следва времето t'* от първата зависимост (4*) да поставим във втората, при което стигаме до резултата: t*=к*(1+v/с).к*(1-v/с).t*, съответно t*=к*2(1-v2/c2).t* . Накрая решаваме това равенство относно к*:
к*2=1/(1-v2/c2) или к*=1/b където b=(1-v2/c2)1/2 (5*)
По този начин стана детайлно ясен и генезиса на величината к*. Тя, като продукт на светлинния сигнал, е органично свързана с него, е неразделима от него и, носейки го неотлъчно в себе си, го внедрява навсякъде, където участва. Това винаги трябва да се има предвид при обобщаване на изводите (с индекс или не, к винаги е к*).
С определянето на множителя к* трансформациите (2*), (3*) добиват вида (само за гледна точка К'):
форма1) х'*=(х*-v.t*)/b, форма2) х'*=(х*-v.х*/с)/b, форма3) х'*=(1-v/c).х*/b (6*)
форма1) t'*=(t*-v.t*/c)/b, форма2) t'*=(t*-v.х*/c2)/b, форма3) t'*=(1-v/c).t*/b
Тук възникват ред принципни въпроси: Правилно ли е от (6*) да подберем само нерешените докрай частни изрази <форма1) х'*=(х*-v.t*)/b> ; <форма2) t'*=(t*-v.х*/c2)/b> и механично, без обосновки, да отстраним индексацията им, за да стигнем до вида <х'=(х-v.t)/b ; t'=(t-v.х/с2)/b>? Правилно ли е тъкмо последните изрази да провъзгласим за единствената форма на търсените всеобхватни трансформации? Правилно ли е просто да зачеркнем като невалидни вариантите <форма2) х'*=(х*-v.х*/с)/b, форма3) х'*=(1-v/c).х*/b> , респективно, <форма1) t'*=(t*-v.t*/c)/b, форма3) t'*=(1-v/c).t*/b>?
Тези питания са реторични. Очевидно такъв подход и такова решение няма да са коректни. Релативната теория обаче е в неведение. Теоретизирайки само с едни обозначения, тя преминава от режим на произволни х, t ; х', t' в режим на взаимозависими х=с.t ; х'=с.t' и се връща обратно както намери за добре.
Подобно, но силно завоалирано, ще стоят нещата и при връщане към изоставената обща задача – като вземем вече определената величина к*=1/b , махнем индекса "*" и я поставим в недовършените общи формули (3). Любопитно е обаче да проследим така описаната операция. В резултат ще получим:
х'=(х-v.t)/b и х=(х'+v.t')/b (4)
От (4), щом величината 1/b е известна, можем да намерим и съотношението между времената t и t', като в десния израз (4) поставим левия, при което получаваме: х=к[к(х-v.t)+v.t'], респективно х=к2.х - к2.v.t + к.v.t', респективно х/к2=х - v.t + v.t'/к, респективно (1-v2/c2).х=х - v.t + v.t'/к, респективно х - (v2/c2).х=х - v.t + v.t'/к, респективно v.t - (v2/c2).х=v.t'/к, респективно (решаваме относно t') t'=к.t - к.v.х/c2 , откъдето t'=(t-v.х/c2)/b .
Съответно, съвременната теория приема като крайно общо решение именно изразите:
х'=(х-v.t)/b ; t'=(t-v.х/с2)/b – гледна точка К' (5)
Нарочно дадохме горната подробна картина на действията, за да покажем механизма, по който величината к внедрява скоростта на светлинния сигнал, а значи и самия сигнал, вътре в оперативната част на трансформацията за времето. Сиреч, трансформацията t'=(t-v.х/с2)/b в действителност е t'*=(t*-v.х*/с2)/b, като следствие от вмъкването на к. С една дума, във формули (5) все още си имаме работа със сигнала, все още сме в коловоза на решаване на частната задача на сигнала.
В този ред на мисли, за да постигнем търсените общи трансформации коректно, трябва да отидем на частните изрази (6*) и да се спрем на доведените докрай решения форма3: х'*=(1-v/c).х*/b и t'*=(1-v/c).t*/b. Най-общо погледнато, това са съотношения <координата К'-координата К> и <време К'-време К>, така че безпроблемно можем да премахнем индексациията, при което получаваме генерализираните изводи:
х'=(1-v/c).х/b и t'=(1-v/c).t/b – гледна точка К' (6)
Чрез формули (6), на всяка произволна двойка х, t от система К, ще сме в състояние да намерим съответната дойка х', t' в система К' (и обратно).
Редактирано от fiury41 на 20.09.15 08:47.
|
КОРЕКТНА ФОРМА НА ЛОРЕНЦОВИТЕ ТРАНСФОРМАЦИИ
