|
Само ми се разпали интереса какво е точно полето при несиметрични плочи. Затова сметнах крайният случай - едната плоча с площ нула (и краен заряд, демек безкрайна плътност на заряда) висяща на височина H в центъра на другата, която пък е кръгла с радиус R, за по-прости сметки, и е заредена с постоянна повърхнинна плътност
Чертежа сам можеш да си го направиш, никаква философия няма в него.
На долната плоча, с радиус R. си въвеждаме полярна координатна система в нейният център. Всяка точка от тази повърхност се обозначава с координатите
Нека разгледаме полето, създадено от малка област dS отстояща на дистанция r от центъра тази равнина в точката на висящият заряд. Разстоянието между тази площ и зарядът е L:
Полето създадено от зарядът в тази площ е:
Вертикалната съставка на полето, насочена перпендикулярно на равнината е:
или изразено чрез по-горните параметри:
Площа в полярни координати се изразява като:
Пълното поле, създадено от цялата долна плоча ще бъде интеграл по цялата площ:
Интегрираме по ъгълът, и остава:
Сменяме променливата в интеграла r с
Това променя границите на интеграла, долната става 1, горната и интегралът придобива вида:
Решението е елементарно:
Частният случай, долната плоча да стане безкрайна равнина (R клонящо към безкрайност), ни води до полето:
което е класическо решение и вече трябва да ти е много добре познато.
И сега най-важното. Забележи, силата с която площа dS действа на зарядът се определя от полето което създава тази площ, умножено по зарядът висящ над плочата. Както и обратното, силата с която зарядът действа на това парче е абсолютно същата, поради симетрията в закона на Кулон. Тоест интегралът който ще ни даде силата, с която долната равнина действа на самостоятелният заряд (пропорционален на полето, което току-що сметнахме) е същият интеграл, който ще ни даде силата с която зарядът въздейства на всички елементарни площи dS, т.е. върху долната плоча. С което доказах, че и в крайно несиметричният случай на плочи на кондензатор - в който едната колапсира до площ нула с безкрайно голяма плътност на заряд върху себе си (демек краен точков заряд), силите са еднакви. Лишен си от всяко основание да фантазираш, че силите може да са различни
Тази техника може да приложиш и ако втората плоча не е точков заряд, а има също крайни размери. Тогава ще се появи още един интеграл, сумиращ и по нея. За съжаление такава комбинация не се смята лесно в аналитичен вид. Но няма никакво основание да се съмняваш, че силите ще се получат еднакви - законът на Кулон е зарядово симетричен, а това при всички случаи лежи в основата на такъв род сметки.
Дай някой по-интересен проблем че ми е скучно, а докторите нещо се заяждат с мене :)
`По-голямата опасност за мнозина е, че целта е твърде ниска и я постигаме`
|
Решение за точков заряд и крайна плоска плоча [re: mr Chaos]
