Математическа и физическа същност на гравитационната константа

От закона на Нютон за силата на привличане между Слънцето (М) и Земята (m) -
(1) F = (G M m)/R^2
е наистина интересно да се обмислят следващите въпроси:

а) Какъв е произходът (каква е етимологията) на тази зависимост?
б) Защо силата е пропорционална на произведението m1.m2 от двете маси, а не, да речем, на техния сбор m1+m2 ?
в) Защо разстоянието R между центровете на масите е на квадрат, а не на някаква друга степен 1, 3, 4 и т.н.?
г) Защо гравитационната константа е с неопределената дименсия [m3/kg.s2] ?

Отговорите на първите три въпроса са в основното съчинение на Нютон
Phlosophiae naturalis principia mathematica и в учебната литература, където от най-висока класа е книгата Теоретична астрономия на Никола Бонев.

Специално за показателя (n = -2) в степента на разстоянието R, има различни физични и математически доказателства.
Например в неговите Принципи Нютон доказва, че за движение по затворена орбита (елипса или окръжност) под действието на централната сила (1), тялото ще започва и завършва една обиколка (360 градуса) в една и съща точка или от апсид до апсид, само ако показателят на степента е двойка (n = - 2) .

От заглавието на темата обаче се подразбира, че особено внимание заслужава четвъртото питане, свързано с математическата и физическа същност на гравитационната константа.

Прости и убедителни, също тъй неизвестни до момента отговори на всички въпроси и най-вече на последния от тях (г) фактически се съдържат в третия закон на Кеплер и се намират без да се прибягва до други източници.
Константата на Кеплер (Ks) е открита и определена експериментално

(2) (4п^2 R^3)/(T^2) = V^2 R = Ks

Тук индексът (s) означава, че константата Ks се отнася за гравитационното поле на Слънцето, V^2 е центробежният потенциал във всяка точка на дадена еквипотенциална сферична повърхност около центъра на полето, R е радиус на същата повърхност.

Ако следваме методиката на Кеплер, може експериментално да се определи константата на Кеплер (Ке) в границите на земното гравитационно поле

(3) v^2 r = Ke ,

където с малките букви v и r сме означили съответните величини в полето на Земята (earth).
След дълго или кратко лутане се стига до идеята за сравняване числените стойности на двете константи Ks и Kе с масите М и m на Слънцето и Земята, при което се откриват следните зависимости

(4) Ks/Ke = M/m ; Ks/M = Ke/m .

С помощта на дадените по-горе равенства (2, 3) и стойностите на отделните величини, за които имаме възможността да отчитане експериментално, получаваме една постоянна зависимост в следващата форма, с размерността и числената стойност на гравитационната константа

(5) G = (V^2 R)/M = (v^2 r)/m = 6.67384(80)10^-11 [м^3/(кг сек^2]

От резултатите следва извод, че трите величини – центробежният потенциал V^2 на дадена орбита, радиусът R на същата орбита и масата M, която създава полето - са свързани в една универсална зависимост (G), която е постоянна величина в произволна точка на всяко гравитационно поле в цялата Вселена, с което се отговаря изчерпателно на четвъртото питане (г).

От изведените зависимости, центробежният потенциал, примерно в полето на Слънцето, се дава с израза

(6) V^2 = G M/R

Формулата за ускорението при движение по окръжност V^2/R се извежда математически и след елементарно преобразуване на последните зависимости се стига до равенството между големините на инерционната и гравитационната сила, която съвпада с дадения в началото закон на Нютон


(7) V^2/R = G M/R^2 ; m V^2/R = (G M m)/ R^2 = F

От физическа, логическа и математическа гледна точка, последните равенства (7) са възможно най-кратките и прости отговори на първите три въпроса (а, б, в).

Редактирано от st_jordan на 22.01.15 20:54.