Наив,

До времето на Гаус, кривините са се смятали само итвън: повърхнините са всичките били вложени в тримернотъо Евклидово пространство. Индуцираната метрика се е наричала Първа основна форма на повърхнината. Имало е и втора, а и трета основни форми, които много пряко са свързани с това, как е вложена повърхнината. Гаус обаче е забелязъл (Teorema Egregium), че кривината (Гаусовата) зависи само от компонентите (и техните производни) на Първата Основна Форма. Тоест, тя е вътрешно качество на повърхнината. Риман, в инагуралната си лекция (темата е била избрана от Гаус, не за Теория на Числата, а за Диференциална Геометрия!) въвежда официално Римановите метрики: нещо независещо от каквито и да било влагания.

Кривината е локален обект. Локално изометрични многообразия имат идентични кривини. И не, не можеш да отличиш многообразието само по кривината му. Например, освен тора има и други двумерни повърхнини (Риманови), които приличат на сфера с дупки (торът има само една такава). Броят на дупките се нарича род на повърхнината, има си означение, g, и е топологичен инвариант. Род нула е само сферата, род едно е торът, род две си има име: хипер-елиптична повърхнина, и пр. Всичките повърхнини от род по-голям от 1 имат метрики с постоянна отрицателна кривина (-1). Но те са различни даже топологически. В този случай, ако можеш да обхождаш повърхнините, то ти все пак можеш да ги различиш: триангулираш ги и пресмяташ Ойлеровата хахактеристика на повърхнината. Тя е 2 - 2g. Като знаеш рода, идентифицираш обекта. За съжаление, това е възможно само в двумерния случай (Риманови повърхнини). По-високите размерности са, слава Богу, много по-интересни. Но тогава да различиш обектите е много по-сложно. Алгебричната Топология, Хомологичната и Химотопичната Алгебра дават някакви средства да се борим с въпроса. Но са далеч от изчерпателни.

Това е математически. Физически как е - не мога да ти кажа. Чувал съм, че Вселената е общо взето плоска (и понеже в началото, преди взрива, не е била такава, някои твърдят, че в началните моменти на живот на Вселената, движението със свръх-светлинни скорости е било "ежедневие". Но има и хоризонт на наблюдаемост (какъв израз изтипосах само!), така че Вселената трябва да е "компактна". Право да си кажа - това за мене са само приказки, не ги разбирам.

Поздрави