В случая твоята задача определено зависи от бройната система, макар да се предполага десетична явно.
Аз така и не видях някой да е написал ясно решение на задачата.
Това е по-скоро задача за програмисти или анализатори и създатели на алгоритми, те много си падат по такива неща. сега за мен има и известна неточност в условието, защото не може да има сума от цифри. цифрата сама по себе си е графичен символ и не носи абстрактната информация на числото.

ако означим цифрите на числото N с а(i) то имаме (тук ще ползвам Е вместо сигма поради ограничение във възможностите за запис)
i=m
E a(i)=2006
i=0

и N=a(m)10^m+a(m-1)10^(m-1)+ ... +a(0)
също така
N= X^2

По въпроса за съществуването на число N отговарящо на първото условие, мисля че няма затруднение.
Обаче по въпроса за съществуването на числото X аз поне не се сещам за общо решение, което да даде съществуване или не на това число. Ако подходим с програмистки методи, ще се наложи някакви итерации или може би рекурсии.

Хайде кажи решението на руснака, че ми стана интересно.