1) Може ли метриката на Шварцшилд да се опише като единствената метрика със следното свойство: дадено ни е да кажем тримерно кълбо умножено по права, т.е. D x R и се счита, че метриката на шварцшилд е метриката която е със сингулярност в центъра на кълбото за всеки момент от време и която е инвариантна относно действието на SO(3) върху кълбото и транслации по времето? Т.е. имаме някак почти пълната група от изометрии, което би трябвало еднозначно да ни определи и метриката...

Аз разглеждам така наречения случай на метрика на Шварцшилд извън хоризонта на събитията, което е метрика върху следното мнoгoобразие ("пространство-време"): (R^3\D)xR, където 'D' е 3-мерно кълбо, а R^3\D е R^3 с избито кълбо D. Тази метрика има група на изометрии SO(3)xR, където SO(3) действа като обикновени ротации върху R^3, а R е транслацията по последния декартов множител R. Мисля, че метриката на Шварцшилд се характеризира, като ("по същесво") единствената метрика върху (R^3\D)xR с група на изометрия SO(3)xR, която е решение на уравненията на Айнщайн с нулев изочник (в (R^3\D)xR). Все пак виж по-добре в учебниците по гравитация точния извод на тази метрика.

2) 2-формата F къде е двуформа, върху D или върху D x R? И съответно къде е дефинирана звездата на Ходж, върху пространството или пространство-времето.

И така, "пространство-времето" е както казахме (R^3\D)xR и тогава F е външна 2-форма върху него! Звездата на Ходж също се взема по отношение на метриката върху (R^3\D)xR (т.е. метриката на Шварцшилд).

3) Защо взимаш просто диференциал от F, т.е. имам чувството, че това е плоска ковариантна производна на F, а не трябва ли да се вземе свързаност (ковариантна производна, не знам кое по-правилно да се каже) d + O, където О е кривината на постранство-времето? Просто питам, не знам как се пишат уравненията на Максуел в изкривено пространство, ама се ми се струва, че кривината трябва да оказва влияние на диференцирането. Ако може и да разкажеш нещо за самия тензор F, все ще ми е от полза... А и също самото диференциране d пространствено ли е или пространство-времево?

Въпросът ти е донякъде уместен. В началото (мисля, че това е бил първи Вайл) са обобщавали уравненията на Максуел в изкривено пространство-време просто като са заменяли частните производни с ковариантни. По-късно обаче, след работите на Янг и Милс, са осъзнали, че уравненията на Максуел са частен случай на по-общи уравнения (тези на Янг-Милс), които са уравнения за свързаности във (нетангенциални!) векторни разслоения. Както и да е, за случая на уравненията на Максуел това обобщение дава точно, което написах: dF=0 и d*F=*j. Тук 'd' е външния диференциал, който в никакъв случай не може да се нарече "плоска производна", защо той се определя единствено от гладката структура на мнoгoобразието и в този смисъл съществува преди всяка метрика върху него. Фактически, ако F е 2-форма, то dF е 3-форма - как точно се определя можеш да видиш във всеки учебник по диференциална геометрия. Оттук следва, че първото уравнение на Максуел, dF=0, наистина не зависи от метриката върху пространство-времето, но второто обаче, d*F=*j, зависи посредством звездата на Ходж. Относно смисъла на F - в теорията на Янг-Миллс F се интерпретира като "кривина" на свързаност в 1-мерно векторно разслоение над пространство-времето. Потенциала на F, 1-формата A, се интерпретира като символ на тази свързаност (и тогава F=dA). Фактически "потока" на F по една двумерна повърхност (което е интеграла на F по повърхността) се интерпретира като оператора на паралелен пренос по затворения контур, представляващ границата на повърхността.

3) Какво е векторно поле на Килинг? Къде е дефинирано, т.е. върху кое многообразие: пространството, пространство-времето или някое от допирателните им разслоения? Да не би да е полето върху допирателното разслоение на пространство-времето, което генерира геодезичния поток вурху пространство времето относно метриката на Шварцшилд (помислих си го защото си написал "Това означава, че мировата линия на заряда (която е геодезична) е тангенциална на Килингово векторно поле X ")?

Векторно поле на Килинг е векторно поле с определено свойство дефинирано от Килинг. Следователно въпроса има две страни: що е изобщо векторно поле и какво е това допълнително свойство на "килинговост". Виждам, че знаеш отговора на първия въпрос: най-общо векторните полета са инфинитезимални дифеоморфизми (или както казват още потоци) върху мнoгoобразие. Мнoгoобразието тук е пространство-времето (R^3\D)xR. Свойството на Килинг за едно векторно поле се дефинира по отношение на някаква метрика върху мнoгoонбразието и то е, че това векторно поле е инфинитезимална изометрия за дадената метрика, т.е. полето генерира поток (еволюция), който е изометрия. В случая става дума за килинговост по отношение на метриката на Шварцшилд върху (R^3\D)xR. Едно килингово векторно поле X не е винаги геодезично (последното значи "набла_X(X)=0")! Както писах по-горе, метриката на Шварцшилд има отнапред искани изометрии. Следователно тя има и отнапред зададени килингови векторни полета: първото е на транслациите по "времето" 'R', d/dt, а вторите са векторните полета X на инфинитезимални ротации от SO(3). Всяка линейна комбинация a.X+b.d/dt (a и b - константи!) ще е също винаги килингово векторно поле. Потокът (еволюцията) на такова векторно поле a.X+b.d/dt е всъщност "винто-образно" движение: вървим напред по 'R' и едновременно въртим в R^3. Така, допирателните (интегралните) линии на a.X+b.d/dt са всъщност винто-образни линии (спирали) и аз поисках една от тези линии да е геодезична, но не всички!

4) Ако може да разясниш точка 2), т.е. какво е ньотеров ток съответстващ на векторно поле на Килинг? И каква му е интерпретацията?

Този въпрос определено изисква цяла "лекция". За съжаление не мога и да препоръчам по него определена книга. Темата, най-общо е "вариационно смятане" и "теорема на Ньотер". Обаче почти никъде няма развит този въпрос над общи мнoгoобразия, на езика на диференциалната геометрия. По същество обаче теоремата на Ньотер дава за всяка симетрия на Лагранжиана една затворена 3-форма Q. Всъщност, затвореността, dQ=0, е и закона за запазване, а интегралът от Q по всяка 3-мерна повърхност е "запазващата" се величина (енергия, импусл, заряд и т.н.), т.е. Q е нещо като 3-мерна "плътност" на запазващата се величина (затова и се нарича още "ток"). За да си представиш по-нагледно закона за запазване в интегрален вид: да вземем един 4-мерен цилиндър DхI, където D е 3-мерно кълбо (основите на цилиндъра), а I е интервал в R (образуващата на цилиндъра). Границата S на цилиндъра се състои от 3 части: 2те основи S_1 и S_2, и околната повърхност S_3. Тогава това, че Q е затворена форма, дава по теоремата на Стокс: Интеграл_S(Q)=0. Следователно, Интеграл_{S_2}(Q)-Интеграл_{S_1}(Q)=Интеграл_{S_3}(Q) (знаците се обръщат според ориентациите). Това е и закона за запазване: Интеграл_{S_3}(Q) е "изтеклата навън" енергия (или импусл и т.н.) през интервала I.