|
Дали има квалифицирани да пресметнат следната задача по-долу. Аз също не съм я смятал, но съм слушал "философии" трябва ли заряд движещ се във външно гравитационно поле да излъчва. Това обаче подлежи на точно пресмятане в рамките на стандартния модел на гравитация+Електромагнетизъм.
Задача:
Точков заряд 'e' се движи по кръгова орбита във външно гравитационно поле на Шварцшилд (извън хоризонта на събитията). Това означава, че мировата линия на заряда (която е геодезична) е тангенциална на Килингово векторно поле X.
(Припомняне: метриката на Шварцшилд извън хоризонта на събитията се дава от израза:
ds^2=(1-2M/r).(dt)^2-(1-2M/r)^{-1}.(dr)^2-r^2.[(da)^2+sin^2(a).(db)^2], при t в [-безкрайност,безкрайност], r в [1/(2M),безкрайност], а в [0,pi], b в [0,2.pi]. Работим в единици c=G=k=1, където k е Кулоновата константа.)
1.) Да се намери решение F на уравненията на Максуел (dF=0 & d*F=*j, където 'F' е външна 2-форма, а '*' е звезда на Ходж) с източник j - тока на точковия заряд (j(x)=integral_{s=-безкрайност}^{безкрайност}[e.dz(s)/ds.delta(x-z(s)]), където s е геодезичния параметър), което да е инвариaнтно спрямо Килинговото векторно поле X (т.е., L_X (F) = 0, където L_X е производна на Ли) и да клони към нула за пространствено-подобна безкрайност.
2.) Какво трябва да се нарече поток на енергията на електромагнитното поле F? Това е една 3-форма Q, която трябва се дефинира, като Ньотеровия ток съответстващ на Килинговото векторно поле X (припомняне - електромагнитния лагранжиан е L=integral[(F)w(*F)], където 'w' е външно произведение, а F=dA]). Тогава да се пресметне интеграла Е(R,T)=integral_S[Q], където S е 3-мерната повърхност S={(r,t,a,b): r=R, t в [0,T], a в [0,pi], b в [0,2.pi]}.
3.) И последно, интересува ни границата E(T)=lim_{R->безкрайност}E(R,T) - това е излъчената енергия "за време" T.
Айде, приятно решаване - става и за (бакалавърска) дипломна макар, че има вероятност това отдавна да са го решили някъде.
|
Задача: излъчва ли заряд в гравитационно поле?
