Едва ли би могъл.
Самата идеология на HTTP е заявка->отговор->край на връзката.
Именно за това и се използват така наречените cookies - за предаване на информация, че това е същия клиент, който се е свързал преди 5 мин., например.
Разширените спесификации на HTTP може и да позволяват проверка дали клиента е затворил браузера, но това са разширените спесификации, потдържани например от IIS на Майкрософт, и неговия браузер.