Знам, че тук има много такива :)

Та - молбата ми е за помощ за решаване на една задача. (засега)

Ето я:

В квадрат със страна 1 са избрани 51 точки. Да се докаже, че съществуват три от тези точки, които могат да се покрият от кръг с радиус 1/7

Ако избера най-външните да са върху периметъра на квадрата, разстоянията между най-близките точките, ако са разпределени равномерно, стават 1/6. По нарядко няма как да се разпределят.
Реално винаги ще хващам 2 точки в окръжност с радиус 1/7.
Остават две точки, които трябва да сложа някъде. Реално едната е излишна, защото и да бяха само 50 пак няма къде да сложа последната точка, така че да не влизат 3 в окръжност с радиус 1/7.
7х7 = 49 и две остават, които няма къде да сложа, така че да избегна натрупване на точки.

Е-бане

Благодаря, и на мен това ми бяха първите разсъждения, но начертах "мрежата" от 49 точки и окръжността, и видях, че тя покрива 4 точки, разположени през максимално разстояние (1/6), и една от останалите 2 (до 51) би могла да бъде 5-та, а не 3-та. Не разбирам къде греша, или как да "подкрепя" това разсъждение с някакви изчисления. :(

ПП Имам право да се консултирам с целия свят за тази задача, но накрая трябва да представя само едно решение.

Възможно най-разстланият начин, по който могат да се наредят 49 точки в квадрат със страна 1, е квадратна матрица 7х7, при която всеки ред и всяка колона от точки отстоят на разстояние 1/6 от следващите.

При такова нареждане от точките, кръг с радиус 1/7 може да покрие най-малко 1 точка – всеки един от 49-те случая, при които центърът на кръга е в някоя от така наредените 49 точки. Където и да се сложи 50-тата точка вътре в квадрата, тя ще отстои на разстояние не повече от (sqrt2)/12 от най-близката до нея съседна точка, образувайки с четирите най-близки до нея точки нещо като фигурата 5 от обикновено зарче.

Понеже (sqrt2)/12 е по-малко от 1/7, колкото е радиусът на окръжността,

(sqrt2)/12 < 1/7
2*49 < 144
98 < 144

, тогава кръг с радиус 1/7 и център, който се намира на произволно място от площта на квадрата, образуващ с 50-тата точка нещо като фигурата 5 от обикновено зарче, ще съдържа не по-малко от 2 от наредените до момента 50 точки и не повече от 5. Понеже 3 е между 2 и 5, следователно дори и при този начин на нареждане на 50 точки, който осигурява възможно най-голямо разстояние между тях, съществуват 3 точки, които могат да се покрият от кръг с радиус 1/7. Това са петдесетата точка и двете най-близки до нея. Как? Чрез поставяне центъра на този кръг в средата на отсечката, образувана от последно споменатите 2 точки (които са най-близо до 50-тата). Така поставен, центърът би отстоял на разстояния 1/12 от тези 2 точки и разстояние не повече от 1/12 от петдесетата, и понеже 1/12 < 1/7, тогава окръжността с радиус 1/7 би съдържала тези 3 точки.

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Редактирано от Nuke Dukem на 13.11.21 20:38.

Можеш да се опреш на разсъждението, че няма начин, по който да се наредят 49 точки в квадрат със страна 1, така че да НЕ съществуват поне 4 точки, които да се покриват от кръг с радиус 1/7, следователно съществуват и 3, които да се покриват от такъв кръг, а щом няма как 49 точки да се наредят по такъв начин, значи няма как и 50, а също и 51, следователно в квадрат със страна 1 и 51 произволно разположени в него точки винаги съществуват 3, такива че да се покрият с такъв кръг.

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Да, изглежда, че е така, благодаря!

Благодаря ти много и на теб, явно е така, мен ме смути това, че обикновено в условията на задачите няма излишни неща, но в случая май не е така.

Бях я взел тая книжка за децата. Нулев интерес

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите