При доказателството на Кантор се допуска противното, т.е., че могат да се наредят в редица и после се построява число, което е от интервала, но го няма в редицата, тъй като за всяко естествено число n не е равно на члена от редицата с номер n.

Правя такова расъждение, което премахва противоречието.
Нека имаме строго монотонна редица, която е ограничена. По теорема тя е сходяща и нека границата бележим с b. Сега обединението на редицата с границата, образува изброимо множество и имаме b(n) !=b за всяко n. Оттук, обаче, не следва, че b не е в редицата (множеството).

Истинско противоречие би било, ако се намерят неизброимо много числа, които ги няма в предположената редица. Чрез тази конструкция това не може да стане и излиза, че теоремата търси ново доказателство...

Или вашите пояснения...

Редактирано от n7930 на 12.07.16 19:54.

Предопалагам, че говориш за "диагоналния" аргумент.

Допускането на Кантор е че съществува биективна връзка между реалните числа и естествените. С прости думи казано, че реалните числа могат да бъдат наредени в редица, която е номерирана 1, 2, 3, 4, ... и като знаеш дадено число можеш да определиш на коя позиция е то, или обратното - като знаеш поредния номер можеш да кажеш кое е числото (което е определението на биекция). Диагоналния аргумент докзва, че такава биекция не съществува.

Няма никакво противоречие в него, просто ти неправилно го прилагаш към твоите разсъждения. Кантор построява числото, което не е в реда, "изброяващ" всички реални числа, по специфичен начин, който не е същия като в твоите разсъждения. На него му е нужно едно-едниствено число, което опровергава допускането, че реалните числа са изброими, за да докаже, че те не са. Няма нужда от безброй много примери.

Отново.
С крайни множества всичко е просто и не възникват проблеми.
Кантор дава редица на всички реални числа и дава число, което е различно от всяко число от тази редица, откъдето заключава, че това число не е попаднало в редицата на всички числа, което е противоречието, доказващо теоремата.

Дотук добре.

Аз давам прост пример.
Имаш стриктно монотонна сходяща редица d{n} с граница b. Тъй като редицата е стриктно монотонна, b не е равно на никой елемент от редицата. За всяко естествено n. Питам те, това означава ли, че елемент равен на b отсъства от редицата.

Добре, нека е така. Какво следва от това?

Как според теб Кантор ще сброи това множество: 0,1,2, ....
Това са целите неотрицателни числа.

?

Първото е 0, второто е 1, третото е 2 и т.н. Съществува биекция между естествените числа и целите неотрицателни. На n-та позиция при последните е числото n-1, а числото k от целите неотрицателни е k+1 поред в редицата.

По малко по-заобиколен начин могат да се изброят всички цели числа от -oo до +oo, както и всички рационални числа. Рационалните се подреждат в квадрат:
1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ....
3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ....
.....
След това броиш по диагоналите дясно-горе към ляво долу: 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, .....
Което пак е биекция, ако не се съкращават числители със знаменатели. Може да се сметне лесно на позиция n кое рационално число ще стои, както и рационалното число p/q на коя позиция е.

Благодаря, че пишеш. В доказателството на Кантор, той допуска, че има две колони от числа, в едната колона са подредени естествените числа, в другата са разбъркани същите числа, (всъщност това са реалните). Използвайки математическа индукция, той получава, че във втората колона липсва естествено число.

Кое е числото, което липсва?

Ясно е, че числото което липсва е най-голямото естествено число. Това число липсва и в първата колона. Поради тази липса, той обявава, че реалните числа са неизброими. Как ти се струва?

Редактирано от n7930 на 21.07.16 17:30.

Не, Кантор казва, че във втората колона са реалните числа, записани в десетична бройна система, а не естествените разбъркани. И доказва, че както й да ги подредим все ще има поне едно липсващо.

Нали на всяко реално съответства натурално по предположение. Тъй като предположението се приема за вярно до доказване на противното, може изобщо да заместим втората колона с естествени числа. Тогава, Кантор ги разглежда и зачерква всяко естествено число, което срещне в редицата, остава му едно число накрая и той открива, че това число е всъщност най-голямото естествено число, което по принцип си отсъства.

Затова доказателството му изглежда странно. Правилното доказателство е да каже, кое число го няма в редицата, прави проверка и ако го намери, трябва да измисля ново, ако не го намери, значи наистина го няма, а не за всяко n да казва избирам n+1, което го няма до първите n за всяко n.

Това питам. Нищо сложно. В първата си питанка, дадох , че това се среща и за най-обикновена редица. Някои от сходящите редици не съдържат границата си. Нищо чудно.

Хайде да те питам и това: Две реални числа се различават в последната си цифра, еднакви или различни са?

Редактирано от n7930 на 21.07.16 19:27.

Пич, не искам да прозвучи грубо, да ме извиниш да неприветливия тон, но много те моля, след като очевидно не си наясно за какво точно говориш, да престанеш да ръсиш глупости, по отношение на това какво бил доказал Кантор, и какво не бил доказал. Също така, преди да започнеш да "поправяш" негови доказателства, се научи първо да разбираш правилно, след това да формулираш ясно и точно, математически определения и твърдения, а не да ни занимаваш с някакви свои лични тълкувания, на някакви незнайни доказателства, лишени от всякаква конкретика, и които на всичкото отгоре да приписваш на Кантор.
За твое сведение, теоремата, която Кантор е доказал, и от която в частност следва неизброимост на реалните числа, е че за произволно множество, множеството от всички негови подмножества има по-голяма мощност от тази на изходното. В частност, след като е дефинирано по определен начин множеството на реалните числа, се доказва, че то е в биективно съответсвтвие с множеството от всички подмножества на естествените числа, и следователно (по теоремата на Кантор) има по-голяма мощност от тази на естествените числа, т. е. то не е изброимо.
Ако искаш да се посъстезаваш с Кантор, опитай се да докажеш, без да гледаш от никъде, гореспоменатите твърдения. Толкоз от мен, и не се сърди, а уважавай и се учи от великите математици, които са положили стабилните основи на съвременната математика.