Търси се минимален набор от несъвпадащи точки, които не лежат
в една равнина, за които е изпълнено следното:
За всеки две точки (А, B) може да се намери друга двойка (C, D)
такива, че правите определени от AB и CD са успоредни, но
не съвпадат.

В равнината върховете на шестоъгълник изпълняват подобно условие.

Съкращавайте фразите до размера на мисъл. М.Вайсберг

В равнината върховете на шестоъгълник изпълняват подобно условие.
Откъде дойде шестоъгълника, като търсиш 4 точки?
И освен ако нямаш предвид някоя неевклидова геометрия, щом правите са успоредни, то те лежат в една равнина. Но в такъв случай това би следвало да се упомене изрично.

Корекция: В равнината върховете на правилен шестоъгълник изпълняват подобно условие.

Съкращавайте фразите до размера на мисъл. М.Вайсберг

Търси се минимален набор от точки, не е казано че са 4.

Дадох за пример върховете на правилен шестоъгълник в равнината:
Ако изберем които и да е два върха на шестоъгълника (кръщаваме ги А и B),
винаги можем да намерим други два върха, различни от първите
(кръщаваме ги C и D) такива, че правата през A и B да е успоредна на
правата през C и D.
Значи в равнината минималния набор е 6 точки.
А в пространството?

Съкращавайте фразите до размера на мисъл. М.Вайсберг

На пръв поглед бих казал, че върховете на икосаедър изпълняват това условие. Т.е. 12 точки са достатъчни. Може да има и решение с по-малко точки.

Струва ми се, че най-дългият диагонал на икосаедъра няма
успоредна права, определена от някои от останалите 10 точки.

Съкращавайте фразите до размера на мисъл. М.Вайсберг

Прав си.

Мм... то правилиният шестоъгълник, както и всичките му афинни трансформации, изпълняват това свойство, но не са минималния брой точки в равнината. Примерно правилния петоъгълник, и афинните му преобразувания, също имат това свойство и е най-малия брой точки, защото с четири точки не става.

В тримерното пространство за сега залагам на следния обект (10 точки): взимаш правилния петоъгълник АBCDE и продължаваш примерно правите ЕА и ЕD докато пресекат правата ВС в точките М и N съответно. Тогава взимаш три копия на триъгълника MNE заедно с вписан в него правилен петоъгълник ABCDE и един равностранен триъгълник със страна с дължина MN, във които е вписан правилен шестоъгълник със страна с дължина BC=AB=..., и построяваш равнобедрена триъгълна пирамида, с три околни ръба с дължина ЕМ=ЕN и основен ръб с дължина MN, чиито три върха при основата са пресечени с равностранни триъгълници със страна AB=BC=... Та тази пресечена пирамида с 10 върха има точно исканото свойство. Ако вземеш два произволни върха и ги съединиш с отсечка, то тази отсечка задължително лежи върху една от стените на пресечената пирамида (т.е. пресечената пирамида няма пространствени диагонали, има само ръбове и диагонали на стените). Понеже всяка стена е или правилен петоъгълник или правилен шестоъгълник, то отсечката която сме взели е успоредна на друга такава от стената в която отсечката лежи.

Този многостен е вписан в сфера и освен това има сфера, която се допира до всичките му ръбове, като двете сфери са концентрични.

Забележи, че ако успорендно проектираме относно дадено направление (примерно перпендикулярно) върху дадена равнина в общо положение (т.е. така, че да няма съвпадане на проекциите на две прави между две двойки върхове), то проекцията на тримерен обект с исканото свойство се проектире в двумерен обект с исканото свойство, защото свойството успоредност се запазва при такива проекции (при линейни преобразувания по принцип). Оттук между другото следва, че тръгълните стени (стените отсичащи върховете на триъгълната приамида) са перпендикулярни на шестоъгълната основа (но има и други начини на доказване на този факт).

Не и това не става. В бързината съм пропуснал един диагонал. Значи има пространствени диагонали които не са успоредни на нищо.

Така като поразгледах някои от по-известните симетрични многостени, почвам да си мисля, че може би е варно, че за всяко множество от точки в тримерното пространство с исканото свойство, точките задължително лежат в една равнина.

Редактирано от futurologist на 29.04.16 14:27.

10 точки или по-малко.

Ето решение с 10 точки - два правилни шестоъгълника, разположени в перпендикулярни равнини с две общи точки

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите