Броят на уравненията е по-малък от броя на неизвестните.
Ясно е, че има безброй много решения. Въпросът е дали
линейно независимите решения са безброй много. Подозирам,
че е така, но може ли това да се докаже?

Не може да се докаже, защото не е вярно, крайно много са.

А доказателство за това има ли?

Ако боя на неизвестните е n, то пространството от решенията е подпространство на n-мерно, така че ще има крайна размерност.

Ето я системата:

X1 - 2X3 - X5 - X6 = 0
2X1 - X3 - Х4 - X7 = 0
2Х2 - X5 - 2X6 - X7 = 0

За тази система съм намерил над 100 (сто) линейно независими
решения. Ако искаш, мога да запиша примерно първите 50.
Как това кореспондира с:

"Ако боя на неизвестните е n, то пространството от решенията е подпространство на n-мерно, така че ще има крайна размерност.
"

Тези решения нали са наредени седморки. Можеш ли да ми покажеш повече от седем линейно независими седморки, камо ли пък ако са решения!

X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7

5, 3, 1, 7, 2 , 1, 2
5, 6, 1, 1, 2, 1, 8
8, 6, 1, 11, 4, 2, 4
9, 9, 3, 1, 2, 1, 14
12, 6, 3, 17, 4, 2, 4
11, 9, 1, 15, 6, 3, 6
13, 9, 2, 18, 6, 3, 6
11, 15, 1, 3, 6, 3, 6
14, 15, 4, 2, 4, 2, 22
17, 9, 4, 24, 6, 3, 6
19, 9, 5, 27, 6, 3, 6
17, 15, 1, 23, 10, 5, 10
16, 21, 2, 10, 2, 10, 20
19, 15, 2, 26, 10, 5, 10
19, 21, 5, 3, 6, 3, 30
-----------------------------
-----------------------------
386|357|148| 30| 60| 30| 594

И какво те кара да си мислиш, че са линейно независими?

Защото никое от решенията не може да се получи като резултат от
някаква математическа операция върху останалите.

Разбира се , че може, чрез линейни комбинации.