Необходимо ми е да стигна до формулата за лице на елиптичен сектор чрез интегриране.

Самата резултантна формула изглежда така:

S = (a*b)/2 * arctang (a/b * tang beta),
където a и b са голямата и малката полуос на елипсата, а beta е ъгълът на сектора, с начало по оста x.

Намерих в интернет едно решение на задачата, но не ми върши работа.

Това, което ми трябва, е да се раздели секторът на концентрични кръгови дъги с ширина dt и център - в центъра на дъгата... и така да се интегрира.

Някаква идея как да стане?

П.С. Решавам една задача за стереометрична проекция върху хоризонтална равнина на частично закрито анизотропно небе. Стигнах до интеграл, който не мога да реша даже и с Wolfram Mathematica и затова мисля, че явно формулата ми не е вярна... Пътят към решението минава през задачата за намиране лице на елиптичен сектор чрез интеграл.

Редактирано от Aтилea на 08.01.12 23:02.

Ще дам пример за това, което целя, само че за кръгов сектор.

Лицето на кръгов сектор се изчислява като следния определен интеграл:

интеграл от (beta * x) dx
като x е радиусът на дъга с ширина dx и се променя от 0 до R.

Стойността на интеграла е:
beta/2 * R^2 - beta/2 * 0^2.

За ъгъл beta = 2*Pi получаваме познатото ни Pi * R^2

Същият подход трябва да се приложи върху елиптичен сектор... До едно място можем спокойно да приложим формулата за кръгов сектор, но има един фрагмент, който лежи между дъгите на елипсата и окръжността, определянето на лицето на който чрез интегриране ме затруднява.

На мен не ми стана ясно защо искаш такова решение! При условие, че си намерила друго решение, и очевидно така както го описваш и искаш няма да стане.

Интегралът, който аз съставих за по-сложната задача (стереоскопична проекция върху хоризонтална равнина на анизотропно небе), изглежда така:

(1+b*cos(x))*sin(x)*cos(x)*arccos(а/tan(x)) dx

като x се променя от а=arctan(y/d) до c=arctan(sqrt(y^2+d^2)/d

Решението на неопределения интеграл (според инсталируемата Wolfram Mathematica, която е по-"яка" от online версията) е почти цяла страница като формула, и вътре има на няколко места квадратен корен от отрицателни числа. Като заместя началната и крайната стойност на x, ще стане два пъти по-дълго. Подозирам, че подходът ми за определяне на началната подинтегрална функция не е добър. Примерно вместо arccos мога да пробвам с arctan или arcsin... Вместо да работя с x като ъгъл, мога да работя с радиус примерно...

Просто търся подход, който дава по-просто решение на интеграла... да не говорим, че после получената функция ще подложа на следващо двойно интегриране...

Това е осмата задача от сорта, която решавам. Досега търсех проекции върху вертикални равнини и там нещата се получиха по-лесно. Когато имаше проблем, решавах първо задачата за изотропно небе, което се свежда до равнинно търсене на лицата на елиптични сектори. Затова сега пак мисля да мина по същия път...

П.С. Онова решение за лице на елиптичен сектор, което намерих в интернет, не мога после да пригодя за анизотропно небе. Затова ми трябва друго разделяне на площта на сектора - на дъги с радиус x.

Редактирано от Aтилea на 09.01.12 17:28.

Преборих се с по-лесната част :-) Изходната формула чрез интегриране за получаване на лицето на елиптичен сектор с ъгъл beta, мерен спрямо по-малката ос, е:

beta/2*c^2 - integral [ x * arctan (a/b*sqrt((x^2-b^2)/(a^2-x^2))] dx

където х се променя от b до c=a*b/sqrt(a^2*cos(beta)^2+b^2*sin(beta)^2)

Решението дава търсеното: a*b/2*arctan(b/a*tan(beta))

В борбата с по-трудната част на задачата стигнах до двоен интеграл от сума от пет израза.

На четирите израза им реших интегралите. Остана само петия израз, интеграл от който не мога да реша спрямо x (пък после ще мисля и за решение спрямо y):

integrate arctan(y/x)/sqrt(x^2+y^2+d^2) dx

d e числова константа
x e променлива, стойностите й варират от 0 до a.
y e променлива (за външния интеграл), стойностите й варират от 0 до c.

Някаква идея как да го реша?

Задачата ми се видя интересна и ето моето решение:

S = (a*b/2)*(arctg((a/b)*tg(aлфа2)) - arctg((a/b)*tg(aлфа1))) , където

а - голямата ос на елепсата
b - малката ос на елипсата
алфа1 - началният ъгъл на сектора, мерен от абсцисата, в посока обратна на часовника
алфа2 - крайният ъгъл на сектора,мерен от абсцисата, в посока обратна на часовника
S - лицето на елиптичния сектор, заключен между алфа1 и алфа2.

P.S. В случай, че проявяваш интерес, мога да ти изпратя извеждането на формулата

Ти даваш решение за малко по-общия случай за елиптичен сектор, заключен между две произволни прави, минаващи през центъра на елипсата.

Само че моят проблем беше да съставя интеграл, с помощта на който да получа отговора, който всъщност знам. Нужна ми беше подходяща подинтегрална функция, която после да усложня с цел решаване на практическа задача от слънчевата геометрия. После вече трябваше да реша новополучения по-сложен интеграл.

Междувременно се справих и с двете части на проблема - съставих си интеграла (писала съм за него 1-2 съобщения назад), реших си го и подложих получената формула на контурно интегриране. Тъкмо готвя публикация за решаването на пълната задача...

Имам проблем, свързан с публикуването на статия с всички тези формули, които получих чрез интегрирането, за което бях споменала. Всичко се получиха около 60 формули, които разглеждат различни конфигурации на анизотропно засенчено небе. Някои от формулите са доста дълги - 4-5 от формулите са на 3-4 реда. Аз досега толкова дълги формули в статия не съм виждала и това ме притеснява. От друга страна, ако се запазят в тази си форма, става по-очевидна вътрешната логика на формулите и връзката между тях.

Избрала съм списание (английско), по-скоро един познат английски професор, специалист в областта, ме насочи към него. Ама и там не виждам толкова много и толкова дълги формули.

Какво да оформя статията с толкова дълги формули? Уф, дано ми разбрахте чуденето...

Това, което ми трябва, е да се раздели секторът на концентрични кръгови дъги с ширина dt и център - в центъра на дъгата... и така да се интегрира.
баш по този начин няма да стане. дължината на дъгата трябва да се сметне с елиптичен интеграл, а той е нерешим

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите