Chain complex е верижен комплекс и cochain complex е коверижен комплекс на българки, което е и буквалния превод.

Ето тук

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Въпросът няма смисъл както е зададен. Кохомологиите на Хохшилд са хомологичен инвариант който се асоциира с алгебра, а не с топологично пространство. Така че преди да питаме дали кохомологиите на Хохшилд удовлетворяват аксиомите на Ейленберг-Стинрод трябва да кажем как ще определяме когомологиите на Хохшилд на топологично простанство. Например, ако е X топологично пространство, можем да му съпоставим кохомологиите на Хохшилд HH^{*}(C(X)) на алгебрата C(X) от (да кажем комплексно значни) непрекъснати функции върху X. Това определение е разумно и задава функтор от категорията от топологични пространства в категорията от градуирани векторни пространства. Този функтор обаче не удовлетворява аксиомите на Ейленберг-Стинрод защото не е хомотопично инвариантен.

Има и други възможни определения, например може да съпоставим на X хомологиите на Хохшилд HH_{*}(C_*(\Omega X)) на алгебрата от вериги на маркираното пространството от примки \Omega X на X. В тази ситуация има теорема на Гудуили която отъждествява HH_{*}(C_*(\Omega X)) с обикновените сингулярни хомологии H_{*}(LX) на свободното пространство от примки LX за X. С това определение поне получаваме хомотопична инвариантност, но пък изчисляваме хомологиите на малко по-друго пространство. Какво точно ти трябва за кохомологиите на Хохшилд? Каква е физичната ситуация към която ще ги прилагаш?

А, благодаря!

Кохомологията ме интересува във връзка с деформация на алгебра.
Кохомологията на Хохшийлд е в тясна връзка с деформациите на асоциативни алгебри (Gerstenhaber).
Алгебрата в моя модел не е асоциативна, а е една такава доста увъртяна. Интересува ме дали ако дефинирам коверижен комплекс и дефинирам H^n=ker(d)/im(d) за този комплекс, то мога да твърдя, че H^n са кохомоложни групи, или пък трябва да докажа първо още нещо...

Въпросът ми е, всъщност, каква е дефиницията на кохомология в по-широк смисъл - например, когато става въпрос не за топологични пространства, а за алгебри.

Ако А е асоциативна алгебра и искаме да опишем деформациите на А (от произволен ред) като асоциативна алгебра, то тези деформации се изчисляват и контролират от диференциално градуираната алгебра на Ли CC^{*}(A,A), т.е. от коверижния комплекс на Хохшилд разгледан със скобката на Гърстенхабер. Всъщност, за да се опишат тези деформации не ни е нужен целия комплекс на Хохшилд, а само първите му три члена (т.е. комплекса на Хохшилд обрязан във втората му степен). (На ниво деформации от първи ред това съответсвува на стандартния факт, че инфинитезималните деформации на А са HH^2(A).)


Всичко това работи ако А не е съвсем асоциативна, например ако А е асоциативна с точност до висши хомотопии. Това са т.н. A_\infty алгебри и техните деформации се контролират от пълния им комплекс на Хохшилд. Ако твойта алгебра не е A_\infty, то най-верочтно коверижния комплекс на Хохшилд не е изобщо определен за нея, така че ще трябва да решаваш задачата за деформации директно. Без специфична информация за твойта алгебра ми е трудно да кажа нещо повече.

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Здрасти отново :)
Благодаря за дискусията :)

Аз не се опитвам да работя с Хохшилдовия комплекс. Той наистина не е определен за моята алгебра. Нещо повече - не мога да получа произведението в моя случай от скобката на Nijenhuis–Richardson.

Дефинирала съм различен коверижен комплекс от този на Хохшийлд с различни ковериги и различен диференциал - специално за моя случай. Това, което се чудя, е дали мога да нарека групите H^n(A,A)=ker(d)/im(d) за този комплекс кохомология, или пък трябва първо да докажа и нещо друго... Знам, че не мога да използвам резултатите от другите случаи (асоциативни алгебри, алгебри на Ли) в моя случай, но изглежда, че могат да се докажат аналогично...

Просто не знам каква е дефиницията на кохомология в широк смисъл. За мен дефиницията на кохомология на топологични пространства е теория, удовлетворяваща аксиомите (поне в облекчен вид). Но, като става въпрос за алгебри - каква е дефиницията? Стига ли това, че произлиза от коверижен комплекс?

Но, в краен случай мога да питам нашите математици, които са отново на линия в понеделник :)

Редактирано от MilaOtMars на 17.09.10 11:58.

Здравей! За произволен коверижен комплекс фактор групите ker(d)/im(d) се наричат кохомологии. Процедурата която съпоставя на коверижни комплекси тези фактор групи е функтор от категорията от комплекси в категорията от градуирани абелеви групи (или векторни пространства, или по-общо градуирани обекти в абелева категория). В този смисъл може да си мислиш за тази процедура като за формална теория на кохомологии. Тя е съвместима с моделната структура върху категорията от комплекси, а тази съвместимост е формалния аналог на аксиомите за кохомологична теория, които се използуват в различни специфични ситуации (Ейленберг-Стинрод, Вей и т.н.). Така че смело можеш да наричаш свойта конструкция теория на кохомологиите.

Ако оставим терминологията настрана обаче, ти все пак ще трябва да докажеш ред неща. Ще трябва да обясниш защо комплекса който си определила изчислява деформациите на твойте алгебри, защо зависи само от алгебрата, а не от допълнителни данни и т.н.. Ще трябва и внимателно да определиш понятието за деформация на алгебра което разглеждаш. Например, ще разрешаваш ли деформации с точност до еквивалентност на Морита. От отговорите на тези въпроси ще зависи какви са параметрите в твойта деформационна задача, а това в крайна сметка ще има ефект и върху решението което предлагаш.


Успех! И питай пак ако има с какво да помогнем!

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Благодаря

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите