Случайно попаднах на една стара задача, за която се споменава, че допуска единствено известно решение, но самото решение не се дава.
Ще се справите ли?
Как да се разпределят две шестици нееднакви цели положителни числа върху стените на два зара така, че всяка възможна сума от хвърлянето им да е равновероятна?

"Thanks, you don't look so hot yourself"
(on being told he looked cool)
Yogi Berra

Редактирано от ivz на 15.04.10 10:54.

Какво е "две шестици нееднакви цели положителни числа" ?

много ясно какво е, набор от 6 числа. стандартния набор не е решение, тъй като има триъгълно разпределение.




NE SUTOR ULTRA CREPIDAM

Всяка стена да има по шест кръгчета и на тях да е написано (може и цвят само) едно и също число.

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Условието не ми се струва ясно. Две еднакви групи от по 6 неповтарящи се числа ли трябва да разделим в 2 нови групи от по 6 числа или една група от 12 неповтарящи се числа трябва да разделим в две групи от по 6 числа? Освен това числата зададени ли са предварително и търсим алгоритъм за разделянето им или търсим някякви или всички числа изпълняващи условието?


Ако става дума за задачата да намерим 12 неповтарящи се числа и да ги разделим така, на 2 група от по 6, че сумата им да е развновероятна, то това може да стане по следния начин:

За улеснение ще търсим такива числа, че сумата на което и да е две да не е равна на сумата на други две. Лесно можем да покажем, че степените да двойката са едно такова решение. Представете си, че събирате двоични числа на които само един бит е сетнат и то всяко число има рзличн сетнат бит. Сумата на които и да е две винаги е уникална. И така решението в двоична бройна система е:

1, 10, 100, ... , 100000000000

Изглежда има и други решения, например степените на 3-ката или на 4-ката. Аналогично степените на всяко число са такова решение. Нещо повече аналогично се доказва, че вторите степени на всяко число са решение. И третите. И N-тите степени.

Дали някой може да докаже, че степените на степените на всяко число са решение?

А има ли такива репение където да не е изпълнено условието "сумата на което и да е две числа да не е равна на сумата на други две", а да има еднакви суми и въпреки това разпределението да е равновероятно?

Ами такова е условието :)
Попаднах на този въпрос в Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers от Мартин Гарднър. Към края на гл. 19 той казва буквално следното: "Може ли да се разположат цели положителни числа на стените на два игрални зара така, че всяка допустима сума от точките да се хвърля с равна вероятност? Тази задача също допуска единствено решение". И споменава, че повече информация има в заглавие [1] от библиографията към същата 19-та глава, само че в книгата не е приведена библиография за точно 19-та глава! Споменава се още, че това може да е (не е сигурно че става дума точно за нея) Mathematical Magic Show, но аз не можах да я намеря в Интернет. А интересът ми не е ЧАК толкова голям, че да си я купя от Амазон примерно. Иначе имам всичко на Гарднър, издавано на руски и български, но тази книга не е превеждана (или поне не ми е известно да е преведена). Затова и попитах.
Още повече, че така формулирана, задачата озадачи и мен. Струва ми се (но дали е така?), че решение например са кои да са 12 произволно избрани числа от коя да е геометрична прогресия (степенните редове са частен случай). Но дали става дума за такова решение?
Такова решение използва уникални суми. А дали има решение, при което сумите са равновероятни, но не уникални? Ако има, то би ми изглеждало по-интересно.

"Thanks, you don't look so hot yourself"
(on being told he looked cool)
Yogi Berra

Редактирано от ivz на 19.04.10 16:01.

Ако пък трябва да решим задачата да преразпределим числата на 2 обикновени зара така, че всяка сума да е равновероятна, то такава задача няма решение.

Най-близко можем да стигнем до 2 равновероятни суми при например следното разпределение:
[1, 1, 2, 2, 5, 5] [3, 3, 4, 4, 6, 6]

(Edit само съм проверил, че е така, но не съм го доказал)

Редактирано от Пaньo Дoнeв на 19.04.10 17:37.

Не, не - това за първото ти изречение: според мен не е задача за преразпределение на "оригиналните" числа.
Що се отнася до второто: как се връзва това с уверението, че задачата имала единствено решение? При твоето предложение, добавянето на едно и също число към всички води до безкрайно много решения (и аз не съм доказал, че всички суми са равновероятни).
Но... тук се замислям: (1,1) + (6,6) = 8 е в четири комбинации, докато (2,2) + (6,6) = (3,3) + (5,5) = 8 е в осем комбинации? Май не става така...

"Thanks, you don't look so hot yourself"
(on being told he looked cool)
Yogi Berra

Първо, мисля, че няма как решението да е само едно. Най-малкото, ако съществува едно решение, всички набори от числа, получени при умножение на числата на решението с положителна константа, също ще са решения.

Второ, може би се иска двата зара да са еднакви? Т.е., да се използват 6, а не 12 числа.

Всъщност лесно се вижда, че няма начин двата зара да са еднакви, ако шестте числа върху стените са различни и са положителни. Изобщо, условието не ми е много ясно.