Здравейте !
В триъгълник, височината, ъглополовящата и медианата от различните върхове са равни. Да се докаже, че триъгълникът е равностранен.
По дадени тези три елемента не може да се построи триъгълник, значи ли, че задачата няма решение ?
Благодаря Ви.

Здрасти!

"В триъгълник, височината, ъглополовящата и медианата от различните върхове са равни. Да се докаже, че триъгълникът е равностранен."

Един подход е алгебричният: дължините на трите отсчки се изразяват само чрез страните на триъгълника. Получават се две уравнения за три неизвестни (страните на триъгълника). Уравненията са еднородни (хомогенни) от степен 2 и решението се намира с точност до подобие на триъгълника. Трябва да може да се докаже резултатът по този начин.

"По дадени тези три елемента не може да се построи триъгълник, значи ли, че задачата няма решение ?"

Едно решение има - равностранен триъгълник. Дали има повече от едно - не знам. Формално казано, по-горе имаме две уравнения от степен две за две неизвестни. Така че не повече от четири решения са възможни. Но - трябва да се сметне... Построителната задача има безбройно много решения.

Поздрави

Няма ли нещо като обратимост, така ли се казваше. От рода "а+в=в+а"?

"ако триъгълникът е равностранен, тия три неща са равни"
и е валидно и обратното,
"ако тия три неща са равни, триъгълникът е равностранен"

Не се иска да построяваме, а само да отгатнем какви са му страните.

Ами понеже височината е най-късото растояние от върхът до основата то значи, че тези отсечки съвпадат откъдето пък следва, че триъгълника е равнобедрен с бедра отсечките от върха към основата. но това важи и за другите върхове следователно триъгълника е равностранен. Всъщност е достатъчно само за два върха ъглополовящя и височина да съвпадат.

Щом отсечките са равни, центърът на вписаната и описаната окръжности, съвпадат.
Този център дели медианата на 2/3 ; От там, описваш двете окръжности; Прекарваш перпендикуляр през пресечната с вътрешната окръжност (нали медианата е и височина за предполагаемия триъгълник) и където той пресича описаната окръжност са върховете на триъгълника, построен върху избраното за начало.
По построение триъгълникът е равностранен.

Задачата на науката е да обясни това, което е невъзможно да се разбере

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

М.М.,

Решаваш друга задача. В оригиналната, отсечките излизат от различни върхове.

Поздрави

"Щом отсечките са равни, центърът на вписаната и описаната окръжности, съвпадат. "

Някакъв аргумент защо това е така?

Поздрави

"Така че не повече от четири решения са възможни. Но - трябва да се сметне... "

След като разбрах какво се пита в задачата - е, има ли повече решения от равностранен триъгълник? Има ли триъгълник, който не е равностранен и тия неща да са равни?

"Построителната задача има безбройно много решения."

Т.е., обратно на това, което твърди питащият, по тия три дадени отсечки, може по безброй начини да се построи триъгълник?

Здрасти, Наив!

"След като разбрах какво се пита в задачата - е, има ли повече решения от равностранен триъгълник? Има ли триъгълник, който не е равностранен и тия неща да са равни?"

Не съм го смятал - оставих го на питащия. Бих се изненадал, ако имаше.

""Построителната задача има безбройно много решения."
Т.е., обратно на това, което твърди питащият, по тия три дадени отсечки, може по безброй начини да се построи триъгълник?"

Решение винаги има - равностранен триъгълник. Ако е известно само, че отсечките са равно, всеки равностранен триъгълник е решение (безбрийно много). Ако дължините на отсечките са дадени (те са равни), има едно решение - равностранен триъгълник с такива итсечки.

Поздрави

"Бих се изненадал, ако имаше."

Аз се изненадах, че допускаш да има. Но имаше някакви съображения, според които, доколкото разбрах, е възможно да има.

"Ако е известно само, че отсечките са равни, всеки равностранен триъгълник е решение (безбройно много). Ако дължините на отсечките са дадени (те са равни), има едно решение - равностранен триъгълник с такива отсечки."

А, ясно какво си имал предвид с безбройно много. И това означава, че смяташ, че има процедура за построение - нещо, в което питащият се съмнява?