Не съм много опитен в тая материя. Ако някой може да даде идея къде и какво да чета или пък кого да питам, ще съм много благодарен. Ако пък даде сламка за самото доказателство - има от мен бира, ракия, айрян... каквото си поиска!

Значи, не мога да докажа това твърдение:

Нека F е квадратна неизродена матрица nxn с реални положителни елементи. Главният и диагонал се състои от единици.
Векторът-ред w се дефинира като равен на [1 1 1 ... 1]F^-1.
Матрицата W е диагонална и диагоналният елемент от i-я ред и i-я стълб е w[ i ] (т.е., i-ят елемент на w), а недиагоналните елементи са нули.
Да се докаже, че ако F е такава, че всички елементи на w да са положителни, то съществува такъв вектор-стълб c', че всички негови елементи са също положителни и
(WF-I)c'=0 (I е единична матрица nxn, а 0 да се разбира като нулев вектор-стълб).

Съвсем сигурен съм, че твърдението е вярно, но не успявам да го докажа.
Предварително благодаря на отзовалите се!

Здрасти, Огнедишащ!

Би ли желал да ни кажеш какъв всъщност е въпросът ти?

Лесно се вижда (тавтология), че
(WF^t - I)(w^t) = 0.

Да не би въпросът ти да е за дуални оператори?

Поздрави

Не зная, какво е дуален оператор (срам за мен!) и затова не мога да кажа, дали питам за това.
Това, което пишеш ( (WF^t - I)(w^t) = 0 ) е така наистина, но при мен F не е транспонирана.
Ще се опитам да обясня, какво всъщност ми трябва (и защо). Матрицата F е нещо, да го кажем, паднало от небето, което характеризира същността на една система, описвана с линейния оператор WF. Векторът c' задава специален входящ сигнал, който излиза от системата без промяна (WFc'=c', собствен вектор със собствена стойност 1). Точно този сигнал ми е нужно да изчисля при дадена F. Сигналът има физичен смисъл само ако компонентите му са положителни. Не за всяка система съществува такъв. Ако си поставим задачата да разберем САМО дали изобщо съществува сигнал c' за дадена система, можем да изчислим последователно w, W и c' и ще видим, има ли такъв или не (НЕ - това значи, че всеки нетривиален вектор c' ще има елементи с различни знаци). Това обаче е излишен труд, защото се оказва, че ако всички елементи на w са положителни, това гарантира съществуването на решение c' с физичен смисъл. Ако докажа последното, мога да използвам съкратен алгоритъм при числените сметки в практиката, без да е нужно да минавам през етапа на търсене на стойността на c', защото вече ще зная предварително, какво ще се получи.
Лесно се вижда, че от еднаквите знаци на елементите на c' следва, че елементите на w са положителни. Обратното обаче ме затруднява.

Змей, матрицата ти WF отговаря на условията на теоремата на Фробениус-Перон - има само положителни елементи, следователно притежава собствен вектор също само с положителни елементи, съответстващ на положителна собствена стойност.

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Ей това се казва мъжка приказка!
Тя WF се оказва и лява стохастична матрица на всичкото отгоре.
Чакам заявката ти - каквото пиеш...
Да си жив и здрав!

А, стана ми интересно заради приложението на Марковите вериги в планинарството - дали ще паднеш от ръба зависи само от това, къде си стъпил в момента, а не откъде си минал преди това

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

"Тя WF се оказва и лява стохастична матрица на всичкото отгоре. "

Това достатъчно ли е, за да има "положителен" собствен вектор за числото 1?
Според моите сметки, последното е еквивалентно на няколко минора да имат
еднакви знаци. Не всяка стохастична матрица има това свойство.

Поздрави

Ако елементите на стохастичната матрица са положителни, то да, има такъв и е единствен. Ако има нулеви елементи, работата е неясна.

Мерси!

Поздрави