Как им е хрумнало да го използват къде ли не и по-специално - да дигат на 'е' разни числа с него?

Били са умни, хрумнало им е.

"Как им е хрумнало да го използват къде ли не и по-специално - да дигат на 'е' разни числа с него?"

Удобство е основният мотив.

Поздрави

х^х

ако някой ти каже че знае как на човек му хрумват разни работи, питай го защо още не е завладял света.




NE SUTOR ULTRA CREPIDAM

"Появило се е при изследване на функцията х^х."

Съмнявам се. Експоненциалната функция възниква естествено при решаване на диференциални уравнения (от най-прост тип). Всяка положителна основа, различна от 1, може да свърши същата работа. Но формулите стават много сложни.
Удобство, нищо повече, е причината за ползване на Неперовото число за основа на "естествената" експоненциална функция.

Поздрави

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

В отговор на:

---

Jacob Bernoulli discovered this constant by studying a question about compound interest.

One example is an account that starts with $1.00 and pays 100% interest per year. If the interest is credited once, at the end of the year, the value is $2.00; but if the interest is computed and added twice in the year, the $1 is multiplied by 1.5 twice, yielding $1.00×1.5² = $2.25. Compounding quarterly yields $1.00×1.254 = $2.4414…, and compounding monthly yields $1.00×(1.0833…)12 = $2.613035….

Bernoulli noticed that this sequence approaches a limit (the force of interest) for more and smaller compounding intervals. Compounding weekly yields $2.692597…, while compounding daily yields $2.714567…, just two cents more. Using n as the number of compounding intervals, with interest of 1/n in each interval, the limit for large n is the number that came to be known as e; with continuous compounding, the account value will reach $2.7182818…. More generally, an account that starts at $1, and yields (1+R) dollars at simple interest, will yield eR dollars with continuous compounding.

---

Леле колко 'математици' се изредиха да дават отговори по темата

А ти кого питаше!

Хм, това ме изненада. Винаги съм мислил, че е е открито при решаването на y=y', даже се чудех откъде им е хрумнало да го търсят като граница на (1+1/n)^n.

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Числото "е" е локален минимум на "х^х" в положителната част на стойностите.

Никакви диференциални уравнения няма. Нито обикновени, нито частни.

Поне да беше завършил математическа гимназия!

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Редактирано от A$$A$$lN на 18.12.09 15:24.

Него го вдигат.

какво ще правим?

"Поне да беше завършил математическа гимназия!"

Нямаше как - в наше село имахме само обикновена гимназия! Едва се изучихме до 11 клас. Късмет!

Поздрави

"А, с числото "пи" какво ще правим"

Учителката ни по математика (от наше село) казваше да го ползуваме... не знам какво друго.

Поздрави

и заблуждаваш хората???

Аз, пък, бях в отбора по математика на една Математическа гимназия през 1975.

22/7

Асасине, глеам пак с рогите напред си станал тая сутрин. Нещо не ти пускат ли? Айде по-леко с троленето!

Искаш да кажеш, че 1/е (а не "е") е минимум на x^x. Ако и да е така защо е станала интересна константата "е" като 2,7182.... а не като 0,3678... ?

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Много ми е интерено как дефинираш х^х без да използваш е. Или как и намираш производната, че да говорим тогава за локален минимум и пр.

каква е дефиницията на х^х когата х е корен квадратен от 2.

въобще не му се връзвайте на тоя дърводелец от отбора на математическата гимназия

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

"Казала ви е 22/7"

Не! Каза ни по-точно: 3.14!

Поздрави

"Ми, тогава, защо се изказваш така "компетентно" и заблуждаваш хората???"

Ама защо така бе, бате? Аз бях отличник в класа!

"Аз, пък, бях в отбора по математика на една Математическа гимназия през 1975."

Веднага се вижда, че си от добрите!

Поздрави

"въобще не му се връзвайте на тоя дърводелец от отбора на математическата гимназия"

Въобще не му се връзвам. Радвам му се. Благфодаря за съчуствието!

Често хората не си дават сметка, че пишейки за другите, описват себе си...

Поздрави

Лично на мен ми хрумна да използвам е2718, защото пи3145 е малко изтъркано,
пък исках да съм cool

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

"Казала ви е 22/7"
Не! Каза ни по-точно: 3.14!

Ти да не би да намекваш, че 3.14 е по-точно приближение на пи, отколкото е 22/7?

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

"Ти да не би да намекваш, че 3.14 е по-точно приближение на пи, отколкото е 22/7? "

Това беше шега, която сега съжалявам, че се подхлъзнах да играя.

Поздрави

на

х^х

Внимавайте с отрицателните стойности на х.

В положителните стойности има локален минимум, който е точно "е"

Повече лекции няма да изнасям тук. Писна ми от неграмотници. Сега има Интернет, за разлика от моето време. Търсете и се ограмотявайте!

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

бе???

Съвсем сте изперкали в този клуб!

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

само че не с ехел, че нямам такъв, а питахме волфрам алфа, ето

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Айде да го сметнем стъпка по стъпка.
(x^x)' = x^x*(1+ln(x))
За положителни стойности производната има една нула и тя е при ln(x)+1 = 0.
Това съответства на x = 1/e.

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Нали ЗнаеШ какво оЗнаЧава когато на някой му се струва, Че всиЧки други са иЗперкали.

A$$A$$lN, ще те помоля да те обиждаш потребителите.

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

някои идваме във клубовете точно за да се забавляваме унижавайки многознайковци, не ни гони дивеча

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Убеди ме.
Ок.

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Много усмивки, мир и топлина в Святата нощ.

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Редактирано от Lali на 24.12.09 09:29.

ln(x^x)

Редактирано от A$$A$$lN на 26.12.09 00:36.

A$$A$$lN, ще те помоля да те обиждаш потребителите.


Кой съм обидил, моля???

ела да ми приказваш!

Олелеее, колко сте зле!

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Редактирано от A$$A$$lN на 26.12.09 01:02.

Весела Коледа!!!

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

не разбрах кой те тури тук за модератор, при положение, че си нямаш понятие от математика!

Редактирано от A$$A$$lN на 26.12.09 01:35.

Миии... тъкмо да придобия понятие...

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

... да се уча...

А между другото как разбра, че нямам понятие от математика?

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

ln(x^x) =x*ln(x)

Редактирано от Lali на 30.12.09 00:51.

Абе Асасине, няма какво да се рисува, към аналитични въпроси се подхожда аналитично.

Нека f(x)=x^x,
Функцията е непрекъсната за положителните реални числа, но прекъсната за отрицателните числа, където има естествени значения само за дробите от вида p=-n/(2m-1), където n,m са естесвени числа.

Нека разгледаме x>0:

Случай 1. Ако 0<x<1: f(x)=root(x, 1/x), където 1/х>1.
Нека f1(x)=root(a,1/x), f2(x)=x^a, 0<а<1:
f1(x) е строго намаляваща в интервала, а f2(x) - строго растяща,
=> наличието на локален екстремум не може да се отхвърли - видът и местоположението му могат да се намерят аналитично.

Случай 2. Ако х>=1, f(x_i)<f(x_j) за всяка двойка x_i<x_j. Доказателството е тривиално - с допускане на противното.

Ако обобщим, функцията f(x)=x^x не може да има екстремум извън отворения интервал за х (0; 1). Ерго, Неперовото число, което е по-голямо от 1, няма как да бъде неин минимум.

Ха! Не извадих нито една производна от ръкава.


----
бял подпис на бяло поле

Редактирано от linjack на 27.12.09 06:37.

А ето ти анализ и с графика.
Тъй като ln(x) е строго растяща функция, за всяка f(x)>0, функцията fl(x)=ln(f(x)) ще има същото поведение в интервала x>0. Тогава за да намериш мястото на екстермума на f(x)=x^x, е достатъчно да екстермума на fl(x):

fl(x)=ln(x^x)=x*ln(x)

Случай 1.
Ако x>=1: fl(x) - строго расяща

Случай 2:
Ако 0<x<1:
lim(fl(x), x-->0+)=lim(x*ln(x))=(0*-безкрайност=>L'Hopital)=lim[(ln(x))'/(1/x)']

lim(fl(x), x-->0+)=lim(1/x/(-1/x/x))=lim(-x)=0
lim(fl(x), x-->1-)=fl(1)=0

[fl(x)]'=x/x+ln(x)=1+ln(x)
min[fl(x)]<-- x: [fl(x)]'=0=1+ln(x) <=> ln(x)=-1 <=> x=exp(-1)=1/e
min[fl(x)]=fl(1/e)=1/e*ln(1/e)=-1/e

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

прекрачи границата между прибързан и тъп.




NE SUTOR ULTRA CREPIDAM

от математическата гимназия отпреди 35 години. Предложих му да си нарисува графиката за да добие визуална представа! Много бързо става.

Що се заяждаш с мен, а не вземеш да отговориш нещо на автора на темата?!

-----------

Казваш:

Неперовото число, което е по-голямо от 1, няма как да бъде неин минимум.


Писнахте ми! Казах "локален минимум".

Е, няма да ви я нарисувам графиката!!! Напънете си задниците!

нещо недовиждам?

Откъде се е пръкнало неперовото число?

Асасине,
Не се заяждам, а ти се заядаш с всички, и даже графика не си си нарисувал.
Ако в даден интервал, една функция е строгорастяща или строгонамаляваща функция, тя не може да има никакви екстермуми - виж какво съм писал и по-долу - с графиката на функцияра ln(x^x), в която мястото на екстремума се вижда много добре.

Завършил си математиматическа гимназия, много добре - в моята диплома за средно образование от ПМГ, пише профил: химия, с усилено изучаване на английски, математика и биология, а за висше образование пише: отличен (6) на математика I, II, числени методи и статистически методи.



----
бял подпис на бяло поле

имаше идентична тема преди време, ама си смених комп-а и съм я затрил някъде.

Аз ли се заяждам с всички или вие се заяждате с мен???

Що не отговорите първо нещо на автора на темата, че тогава да се занимавате с мен?

Ама, недейте да му отговаряте с нещо такова, защото след това аз ще ви попитам за лудолфовото число.

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Нищо не си отговорил по темата!

Разбери, че грешиш, Асасине - спомените са чудна работа - невинаги нещата са точно такива, каквито си ги спомняме.
Ползвах не Ексел, а Sigma Plot за да получа следните графики на фунцкията f(x)=x^x, около 1/e и е:

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Ето тази функция има екстремум в х=е:

Ако f(x)=x^(1/x), максимум има в x=e.
Частично доказателство:
Нека fl(x)=ln(f(x))=(ln(x))/x
fl'(x)=-ln(x)/x/x + 1/x/x

max(fl(x))<-- x: ln(x)/x=0 <=> -ln(x)/x/x +1/x/x = 0 <=> ln(x)=1 <=> x=e

ПП: На мен не са ми преподавали неперовото число по този начин, затова не се "сетих" за тази фунцкия от спомени, а се опитах да я отркия.


----
бял подпис на бяло поле

Хайде да я покажем най-сетне екселската графика.

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Дал съм достатъчно графики - самата функция не е удобна за показване, по-видимо е поведението на нейния логаритъм.
Освен това, както вече казах, Асасин е имал пред вид една подобна, но различни функция:

f(x)=x^(1/x) има максимум в Неперовото число.


----
бял подпис на бяло поле

не знам от къде се е пръкнало, предполагам от лихвите, звучи убедително. но ти тука се изложи яко, не бях виждал скоро така.




NE SUTOR ULTRA CREPIDAM

много сте ми смешни вие либералчетата, с вашата Вяра в Човешкия Разум

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Понеже съм се екзалтирал нещо от публикуването на графиката съм оставил като нейно заглавие "e^x", а то правилното е "x^x" разбира се.

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Нарисувай графиката за х от 1 до 10, а не около туй-онуй!

След това ми се обадИ да ти кажа какво да правиш с отрицателните стойности на х.

Уф, става ми досадно в този клуб!

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Говорим за х^х

Аз може да съм се изложил, ама ти направо се насра!

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

в математическа гимназия са го учили на тези работи. На всичко отгоре Асасин беше в отбора по математика.

Писна ми вече.

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Грешиш, но повече няма да споря. Ако имаш време, запознай се с математическия ми анализ тук:

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

е, имаш напредък, явно най-накрая си седнал и си нарисувал графиката

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите