Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Редактирано от harish_chandra на 15.07.09 19:54.

Eto edno reshenie na zadacha 1:

Dopuskame protivnoto: a_1(a_2 - 1), ..., a_{k-1}(a_k - 1), a_k(a_1 - 1) vsichkite se deljat na n.

1) Neka d_i = NOD(a_i, n). Po indukcija se pokazva, che d_1 = d_2 = ... = d_k = d.
Neka a_i = d.k_i.

2) Imame
a_1(a_2 - 1) = 0 (mod n)
a_2 = d.k_2 = 1 (mod n/d)

Analogichno.
a_k(a_1 - 1) = 0 (mod n)
ni dava, che
a_1 = d.k_1 = 1 (mod n/d)

Taka che
a_1 - a-2 = 0 (mod d) i (mod n/d)

No HOD(d, n/d) = 1, kakto sledva ot gornite ravenstva, i znachi
a_1 = a_2 (mod n) - protivorechie.

Pozdravi.

Задача 2 (1 ден):

Нека E и H са средитена страните АВ и АС. Нека Q' и Р' са избрани съответно върху страните АВ и АС така, че Е и Н са средите съответно на отсечките QQ' и PP'. <AQP=<QMK=<MLK=b и <APQ=<PML=<MKL=a. Следователно тр.АPQ и тр.MKL са подобни и оттук AP/MK=AQ/ML=k. KE и LH са средни отсечки съответно в тр.ABP и тр.ACQ. Така, EK/MK=HL/ML=k/2 и понеже <EKM=<HLM=<BAC (успоредни рамене), то тр.EKM и тр.HLM са подобни. От подобието следва, че <HML=<EMK, което води до равенството<EML=<HMK. Но тогава и <Q'QP'=<Q'PP' (успоредни рамене с <EML=<HMK). Следователно около Q'P'PQ може да се опише окръжност. Симетралите на отсечките QP, QQ' и PP' се пресичат в центъра на тази окръжност и понеже симетралите на QQ' и PP' съвпадат съответно със симетралите на AB и AC, то пресечната точка на симетралите е О. Оттук следва, че симетралата на QP минава през точка О и следователно OP=OQ.

Задача 1 (2ден):

Нека O е пресечната точка на ъглополовящите в тр.ABC. Нека D' е ортогоналната проекция на O върху страната CA. Тогава тр.CD'O е еднакъв с тр.CDO и понеже DK е ъглополовящата на правия ъгъл <ODC, то D'K е ъглополовяшата на <OD'C=90. Ако E=D', то ъглополовящата BE е перпендикулярна на страната CA и следователно тр.ABC е равностранен. Да допуснем, че E и D' са различни. Тогава <ОD'K=<OEK=<BEK=45, откъдето следва, че около четириъгилника OD'EK може да се опише окръжност. Следователно <EOK=<ED'K=45 като съответно вписани. И като пресметнем, <EOK=45=<ОСВ+<ВСО, <BAC =180 - (<ACB + <ABC) = 180 - 2 (<ОСВ+<ВСО)=180 - 90 = 90.
И така, ъгълът при връх А може да е 60 или 90.

Май това е, дано не съм пропуснал някой случай.

Ето и

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

... "нашите" - след гафа от 2003-та сигурно ги тледат под лупа.

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Да, бългаския отбор имам предвид.

Какъв гаф?

Защо гледането под лупа влияе на представянето?

Какъв гаф ли?Ами разправят,че Савата им пуснал задачите тогава...

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

... гледането под лупа пречи да ти пуснат задачите предварително

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

"... гледането под лупа пречи да ти пуснат задачите предварително"

Не го бях чувал. Но вярно или не, доколкото разбрах става дума за една година. За предишните години има ли съмнения?

"Ма явно "Математика" по торентите го няма, иначе да си прочел там "

Това, че аз не съм прочел съответния брой, те прави много щаслив.