Гледам задачките за 7-ми клас и си милсля - дали моите деца могат да ги решат? Седнах да ги смятам и ужас, някои от геометричните задачи не мога да реша без тригонометрия! Нали тригонометрия не се учи в 7-ми клас?
Например, предпоследната:
Даден е равнобедрен триъгилник АБЦ, АЦ=БЦ, ъгъл АЦБ=106гр. Д е вътрешна точка, ъгъл БАД=30гр, ъгъл АБД=28 гр. Да се намери ъгъл АДЦ. Реших я използувайки синусовата теорема (което решение работи за всякякжи стойности на дадените ъгли). Точката Д е специална, защото като се знае отговора (83 гр.) се вижда, че БД=БЦ, но не можах да намеря еднакви/подобни триъгълници за да покажа това.

Друга задача е следната:
Даден е триъгълник АБЦ, АБ>АЦ. Точката Д лежи на АБ и ДБ=ДЦ, ъгъл АБЦ=54 гр. Ъглополвящата на ъгъл БДЦ пресича БЦ в т Ф, а ъглополвящата на ъгъл АДЦ пресича АЦ в т Е. Правите АБ и ЕФ се пресичат в точка П. Още е дадено, че 2 ПД=ЕФ. Да се намери ъгъл ПЕД.

Тук тригонометрията е по-проста, но не виждам как да се реши задачата без нея, защото единствените подобни триъгълници са ПБФ и ПДЕ (пак благодарение на специалните стойности на ъглите), но въпреки това ми се налага да използувам синусовата теорема.

А покажете ми колко съм глупав!
Благодаря!

Здравейте! Не се притеснявайте, че сте забравили да карате колело, след като шофирате всеки ден. Макар, че някой казват, че това не се забравя.
В момента мога да ви помогна с идеи за втората задача. За първата ще помисля и дано успея да я реша. А и някой по-умен от нас може да се отзове.
1. < EDF e прав, ъгъл между ъглополовящи сумата от половинките от два съседни ъгъла = 1/2 от 180 = 90/надявам се да се подразбира, че става въпрос за градуси/;
2. DF e ъглополовяща на ъгъла при върха на равнобедрен триъгълник, следователно е и височина -> ъгъл DFB е също прав. Тогава ъгъл FDB e 36]
3. от 2PD=EF в правоъгълния триъгълник EFD e EDF - прав следва, че PD - медиана в правоъгълен триъгълник - в моменто не мога да ви докажа, че е така - може би ще го намерите в учебника. Р е център на описаната около триъгълника окръжност и PE, PD и PF са радиуси. Триъгълниците EDP и DFP са равнобедрени с ъгли при върховете 36 и 54. Търсеният ъгъл мисля, ече е 54.

Може и нещо да съм омотала, но мисля, че това е правият път. Вече доста съм далеч от тази математика, но съм минала по вашия път и мисля, че ако решавате редовно задачи, ще влезете във форма и ще виждате нещата. Просто трябва да забравите всичко, което сте учили след седми клас.
А аз ще помисля и по първата задача. Дано с тази не съм се провалила, но не ми се проверява. Вярвям, че ще копнете идеята и ще я доразвиете.

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Благодаря за отговора!
За съжаление, точката P не е пресечната точка на EF и DC, както е във вашето решение, тогава наистина DP би била медиана и всичко е много лесно. Но в условието и на чертежа към него, P е пресечната точка на продължениятя на AB и EF. Отговорът който е даден, също съответствува на това условие.

Поздрави!

P.S., ето препратка към условията на задачите:

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Zdraveite!

Za vtorata zadacha moga da pomogna. Otgovorat e 102 gradusa.

Naistina: 2(agal PFD) = agal DPF i tai kato agal PFD + agal DPF = 36 gradusa, namirame, che
agal DPF = 24 gradusa, otkadeto: agal PED = 102 gradusa.

Alo O e sredata na EF, to DO = 1/2(EF) kato mediana sreshtu hipotenuza i, znachi DP = DO. Ot tuk se vizhda vrazkata 2(agal PFD) = agal DPF.

Pozdravi!

Благодаря за връзката, Обещавам, че ще ги разгледам, но мога да го направя довечера - през деня съм заета.

... namesti si uslovieto "АБД=28 гр." na АБД=23 гр. posle otvori rakovodstvoto na kostadin petrov ot predi 30+ godini i vij tam podobnata zadacha kak e reshena s dopalnitelni postroenia osven tova, ne АДЦ, a BDC e 83 gradusa

Благодаря,
Това е елементарното решение. Не се бях сетил да построя медианата. Иначе аз я реших така: ако l=DE, x=PD , beta=ъгъл BPF, alpha=ъгъл PFD.
l=2x sin(alpha), beta=36-alpha, l/sin(beta)=x/sin(90+alpha); от тук
sin(2 alpha)=sin(36-alpha), alpha=12 ъгъл PED=90+alpha=102.

За другата задача сигурно трябва още по-хитро построение. Иначе тригонометрията и там работи.

PS. Предлагам следната"теорема". Всеки път, когато тригонометричното уравнвние за дадена геометрична задача има рационално решение, то съществува допълнително построение, което води до елементарно решение на задачата (т.е. без тригонометрия).

PPS. Засилване на горното твърдение: Вместо рационално, да се чете алгебрично ( т.е. не трансцедентно).