Може ли някой да даде пример функция, която е растяща върху (а,b), но не е частично непрекъсната.

Дефиниция. Една функция f върху (а,b) наричаме частично непрекъсната, ако има деление а/0=а<а/ч<а/2<...<а/н=b на интервала такова че върху всеки отворен подинтервал f да е непрекъсната и да съществуват левите и десни граници във всеки един от "вътрешните интервали"; в а - само дясната граница; в b - само лявата граница.

На мен ми се струва, че ако една функция е растяща, то тя би трябвало да бъде и частично непрекъсната. Помня, че ако една функция беше монотонна, то множеството на точките на прекъсване трябваше да е изброимо, но не виждам как може да помогне. Това пък ме кара да си мисля, че ако интервала е отворен такъв пример (на монотонна, но не частично непрекъсната има - да, има).

Значи, въпросът тогава е:
Ако f е растяща върху [a,b], дали е частично непрекъсната. Примерът ми не работи върху затворен интервал. като дефиницията за частична непрекъснатост я разширяваме по естествен начин (с дясната и лява граница съответно) до затворен интервал.

Нека b_1, ...,b_n, ... е такава строго растяща редица, че
(1) a=b_1
(2) lim b_n =b.

Тогава при x \in (a,b) се дефинира
f(x)=\sum_{n: b_n<x} n^{-2}.

Точките на прекъсване на функцията f(x)
са изброимо много и не са краен брой.

Дали f(x) е подходяща функция?

Да, благодаря, подходяща е. Аз се сетих и за по-прост пример - взема се редицата, клоняща отдясно на 0 - {1/n}, във всеки интервал [1/(n+1), 1/n) дефинираме f(x)=1/n и f(0)=0.

Но твоят шпример е по-добар защото може да се попромени и дава растяща функция, прекъсната точно върху рационалните, което е също хубаво.