Искам да ви питам какъв е принципът за решаване на матрица повдигната на степен , различна от 2.Като например на степен 8.
Давам пример :


А= 1 -1 0
-1 1 0
1 -1 -2

А^8=?

Подчертавам, че не искам решението , а формулата за решаване.А , ако някой иска нека да реши примера.

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Ами принципът е прост: умножаваш я сама по себе си (без значение отляво или отдясно), докато свят ти се завие. Ако го правиш на ръка, хубаво е да помислиш, как да минеш с най-малко умножения.

За конкретния пример:
Първо умножаваш А*А и получаваш A^2.
После умножаваш A^2*A^2 и получаваш A^4.
Накрая умножаваш A^4*A^4 и получаваш A^8.

Значи, можеш да минеш само с три умножения (ако го направиш като A^8=А*А*А*А*А*А*А*А, ще ти трябват цели 7, което си е по-голяма мъка).

Всъшност има по-добър начин за повдигане на степен. Всяка квадратна
матрица може да се представи като A = V D V^(-1), където D е диагонална
матрица. Тогава A^n = V D^n V^(-1).
Ako D=diag(lamda1,lambda2,...,lambda_k),
D^n=(lamda1^n,lambda2^n,...,lambda_k^n), където
lamda1,lambda2,...,lambda_k са собствените стойности на матрицата А. За
това, как те се намират или как се намира матрицата V, трябва повече
писане. Във вашия случай,

А= {{1, -1, 0}, {-1, 1, 0}, {1, -1, -2}},
V={{0, 2, 1}, {0, -2, 1}, {1, 1, 0}},
V^(-1)={{-1/4, 1/4, 1}, {1\4, -1\4, 0}, {1\2, 1\2, 0}}
D=diag(-2, 2, 0),

A^n={{0, 2, 1}, {0, -2, 1}, {1, 1, 0}} diag(-2^n, 2^n, 0) {{-1/4, 1/4, 1}, {1\4, -1\4, 0}, {1\2, 1\2, 0}}

"Всяка квадратна матрица може да се представи като A = V D V^(-1), където D е диагонална матрица."

Не може всяка да се представи така.

Мерси за изчерпателния отговор.Всъщност мисля , че резултатът е
A^8=[128x 0]
[0 256]
Поне аз това получавам.Забравих да кажа , че ставаше дума за блоков метод.Ако това има някакво значение....

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съгласен съм. Грешката е моя. Пространството на собственире вектори трябва да е n мерно за nxn матрица, т.е. матрицата V трябва да е обратима, както е в конкретната задача. Когато това не е изпълнено, е валидно по-общото твърдение (сингулярно разложение)
A=U D V^T, където U^T U= I и V^T V= I , U^T е транспонираната матрица на U, I е единичната матрица. Твърдението е вярно, дори когато А не е квадртна матрица, а е mxn.
Тогава U е mxm, V е nxn а D е mxn диагонална.

Когато V е обратима, можем да дефинираме не само степен на матрица, но и произволна функция от матрица, стига собствените стойности да са от дефиниционната област на функцията
f(A)=V diag(f(lamda_1),f(lamda_2),...,f(lamda_n)) V^(-1) .

Пак не е вярно. Не всяка обратима матрица може да се диагонализира. Тук обратимоста няма значение.

Е тук не сте прочел какво съм написал. Наистина няма значение, дали матрицата е обратима или не, Казах, че под-пространството разпънато от собствените и вектори, трябва да съвпада с цялото линейно пространство. Тогава, ако подредим собствените вектори в матрица V, тя е обратима.

На хариш чандра това му е запазена марка-да се заяжда.И под вола ще намери теле.

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Да не те бях прочел като хората, така е вярно.