K is fixed
random variables:
X1 = Uniform(0, K)
X2 = Uniform(0, K-X1)
X3 = Unifrom(0, K-X1-X2)
.....................................
Xn = Uniform(0, K-X1-X2-....-Xn-1)
Xn+1 = K - X1 - X2 -.......-Xn

така 4е очевидно X1+X2+....+Xn = K.

дефинираме Y = MAX(X1,X2,....,Xn+1), някой да има идея каква е дистрибуцията на Y и как да се намери?

Ne sum siguren koe kakvo e i kakvo tochno tursish no taka kakto go shavshtam, X1, X2, ... , Xn sa rastaiashti no definirani na po malki interevali. Xn+1 e pomaluk ot vsichki ostanali taka che Y e ravno na Xn v intervala [0,K-X1-...-Xn], na Xn-1 v interavala [K-X1-...-Xn,K-X1-...-Xn-1] i t.n. ravno e na K v [K-X1,K]. Taka che razpredelenieto(distribution) na Y shte e stapalovidna functsia vurhu tezi itervali i stoinostite mogat da se presmetnat, te sa 1/duljinata na suotvetnia interval.

нещо не съм сигурен че разборам твоя отговор. Х1 приема произволни стойности в интервала (0,К), Х2 приема произволни стойности в интервала (0, К-Х1) и т.н. Не е задължително нито да са растящи, нито намаляващи.
Y е максимума от (Х1,Х2,....,Хn).

Zanchi ne sum razbral kakvo e uniform(0,k). Az si misleh che uniform(a,b) e functsiata f(x)=1/(b-a) za x\in (a,b) i nula izvun. Kaji kakvo e?

трябваше май да напиша Х1 ~ Uniform(0,K) а не както съм писал Х1 = Uniform(0,K). X1 е random variable и приема стойност в интервала (0,К). дистрибуцията на Х1 е uniform. тва ще рече, че f(x) = 1/K е "плътност на вероятност" за Х1, тоест P(X1<x) = x/K (вероятността Х1 да приеме стойност по-малка от х, за някое х в интервала (0,К), е х/К).

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

A za X2, kakvo oznachava? Tam intervala (0,K-X1) ima diasna granitsa zaviseshta ot x.

ами за Х2 и нататък е същото, само че както каза Х2 приема произволни стойности в интервала (0,К-Х1) със съответната плътност на вероятност 1/(К-Х1), така че Х2 зависи от Х1, Х3 зависи от Х1 и Х2 и т.н.

например, ако К=100:
1) Х1 = избери произволно реално число между 0 и 100.
да речем, излиза Х1 = 24.4536
2) Х2 = избери произволно реално число между 0 и 100-23.4536, тоест между 0 и 76.5464.
да речем, излиза Х2 = 57.000301
3) и така нататък

накрая имаме X1, Х2,....,Хn+1 такива че сумата им е К=100.
Y e най-голямото число от редицата Х1,Х2,....,Хn+1. пита се каква ли е дистрибуцията на Y? expeted value of Y? такива работи...

Kakvo oznachava intervala (0,k-X1),vse pak X1 e functsia.

emi da, intervala (0, K-X1) ne e konstanten a varira v zavisimost ot stoinostta koqto X1 priema, govorim za veroqtnosti vse pak. viz primera koito sam ti dal ot po-gore. X1 priema proizvolni stoinosti mezdu 0 i K. zna4i dqsnata granica na intervala na X2 e ravna na K-X1 i moze da priema stoinosti ot 0 do K sasto, v zavisimost ot X1.
zna4i ako K = 100, vednaz X1=23, da re4em, togava intervala na X2 e (0,77). Dryg pat X1 = 72, primerno, togava intervala na X2 e (0,28). i taka natatuk. nqma li smisal taka kakto go obqsnqvam?

Ооох, туй, дето си го измислил, е много сложно, уа! Отде ти се пръкна туй разпределение?

Аз се опитах да го сметна точно за малките n и ето какво излезе. За по-просто съм взел K=1, откъдето със съответните нормировки лесно може да се мине към общия случай.

За n=1 то си е очевадно, че Y ~ Uniform(0.5, 1).

За n=2 плътността на разпределението е следната:
f(Y)=0 (Y<1/3, Y>1)
f(Y)=(3Y-1)/(1-Y)+2ln(2Y/(1-Y)) (1/3<=Y<=1/2)
f(Y)=1-2lnY (1/2<=Y<=1)

Получава се, като се разгледат 3 четириъгълни области във фазовото пространство (X1, X2), в които съответно X1, X2, X3 имат най-голяма стойност от трите. За всяка от тях се интегрира в нужните граници разпределението на двумерната случайна величина (X1, X2), плътността на която очевидно е 1/(1-X1).

Плътността на разпределението на Y има максимум и точка на прекъсване на първата производна в Y=0.5.

За n=3 и нагоре става безобразно сложно. Мен ако питаш, Монте Карло му е майката. Чудя се, дали при много голямо n не може да се измъдри някоя асимптотична формула.

Редактирано от Orнeдишaщ на 26.06.07 07:40.

Вие имате ... слонче:

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Ако N клони към безкрайност аз няма да играя.

Че пусни повече натрупване, де, к'ви са тия рошави криви...
Сега се мъча да го сметна за n=3, но са големи сметки... двойни интеграли до пълно посиране. Ама нещо ми стана интересно, та току-виж съм го изкарал.
Може и да си прав, че при големи n нищо по-просто не може да излезе. Плътността на разпределението вероятно се описва с различни формули за интервалите [1/2, 1], [1/3, 1/2], [1/4, 1/3]... и т.н. Сега ще видя, дали е така за n=3. Иначе формулата ми за n=2 дава отлично съвпадение със симулацията.

Чалайте де! Аз ли съм нещо тъп, та не разбирам?! Ами всяко следващо число е по-малко от предишното, значи най-голямото е първото изтеглено число. Значи разпределението е uniform. Така излиза, че задачата е тривиална. Кажте ми, аз ли нещо съм недоразбрал, или какво?!

Щом си започнал за N=3 ето и съответната симулацията:

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Не, има разлика там във формулата, затова всяко следващо не е по-голямо от предишното.

Глеам пак фсички се занимават сьс симулации. А то не е толко трудно ако човек зафане директно общия случай. С малко сметки се стига до
F'(Y)=-1/Y^2+F(Y/(1-Y)),
Кьдето F е фунцкята на разпределение. Лесно се вижда, че за Y>0.5 F(Y)=-log(Y). По-нататьк се смета рекурсивно в интервалите (1/(N+1);1/N), като естествено интегралите бьрзо се скапват до степен да не могат да се сметнат.

PS
Естествено горенаписаното се отнася за N безкрайно. За крайни N лесно се извежда рекурсивна формула.

Редактирано от Nedev на 26.06.07 15:48.

Е, симулацията служи за проверка...
Току-що сметнах, че за n=3 и Y>=1/2 плътността на разпределението е
f(Y)=1+(lnY)^2-lnY
Нямам нерви обаче да смятам за 1/4<=Y<1/2.

Би ли обяснил по-подробно, как извеждаш посочената зависимост за крайни/безкрайни n?

Не знам Недев, -log(Y) не ми прилича на слон.

не знам що толкова е изчислявал компютъра ти, аз с монте карло в ексел и за по-големи N нямах проблеми. до тва слонче и аз стигнах за да видя дали ще даде някаква идея. целта е обаче да стигна до аналитично решение, не да правя distribution fits на няква хистограма. но за големи N се замотават нещата аналитично както каза огнедишащия, ще трябва да видя в детайли кво има предвид недев обаче. изглежда обнадеждаващо понеже моята цел беше да правя логнормал фит така или иначе

А това

Y = MAX(X1,X2,....,Xn+1),

какво е? Не е ли най-голямото от числата X1,X2,....,Xn+1 ? Най-голямото то тях е X1. Рaзпределението му е uniform. Пo-труден е въпроса за някое k>1 какво е разпределението на Xk. A също какво е разпределението на средноаритметичното на всичките числа? А също при k, клонящо към безкрайност какво е разпределението - граничната теорема? Дали е експоненциално?

да, Y e най-голямото от числата Х1,Х2,....,Хn+1
не, Х1 не е най-голямото от тях във всички случаи (понякога)

Редактирано от noTeHHEgaP на 26.06.07 21:00.

Струва ми се, че при големи n и Y>1/2 като че ли плътността на разпределението се кани да стане 1/Y. Де да видим.

аз пък имам чувството и май желанието да стане тая дистрибуция log(1+1/Y), но засега нямам доказателства...

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Опааа... успях да напиша рекурентна формула за "опашката" на слона! (Т.е., за Y>=1/2)

f(n, Y)=1 + Определен интеграл в граници от 0 до 1-Y от ( f(n-1, Y / (1 - x)) / (1 - x) ).dx

Като знаем, че f(1, Y) = 2, могат да се пресметнат плътностите за следващите n.
Може да се изведе подобна формула и за 1/n<=Y<1/2, ама вече ми се спи.

Между другото, функцията 1/Y е инвариантна спрямо горното преобразувание. Май чувството не ме е излъгало!

Идеята на формулата е такава: отделяме X1 от всички останали числа. За да бъде максимумът равен на Y, има две възможности: или X1=Y (това отговаря на единицата пред интеграла), а следващите числа са по-малки (в този случай това е гарантирано, защото Y>=1/2), или X1 < 1-Y И максимумът е равен на някое от следващите числа. Тяхното разпределение се описва от f(n-1, ...), а интегрирането става по X1. Двете срещания на 1-x са премащабиране и нормировка.

За Y>=0.5:

f(1, Y)=2
f(2, Y)=1-2lnY
f(3, Y)=1+(lnY)^2-lnY
f(4, Y)=1-(lnY)^3/3+(lnY)^2/2-lnY
f(5, Y)=1+(lnY)^4/12-(lnY)^3/6+(lnY)^2/2-lnY
f(6, Y)=1-(lnY)^5/60+(lnY)^4/24-(lnY)^3/6+(lnY)^2/2-lnY
f(7, Y)=1+(lnY)^6/360-(lnY)^5/120+(lnY)^4/24-(lnY)^3/6+(lnY)^2/2-lnY
...

Последната формула на практика съвпада с 1/Y. Разликата е под 0,01% при Y=0.5 и още по-малка нататък.

тва дето си го написал ми прилича малко на partial taylor series за е^z, кадето z = -lnY........ интересно

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Ъхъ, това се получи. Не е точно частична сума, защото коефициентите на последните членове са различни, но явно наистина клони към 1/Y. Днес, ако ми остане време, ще се опитам да го сметна и за Y<0.5. Кой знае, може и там да излезе някаква проста функция при Y клонящо към безкрайност.

Са ще обясня с две думи кво имам предвид. Иначе в сметките може и да съм сбъркал. Нека
Fn(X)=P{Yn>X}
Тогава
Fn+1(X0)=(1-X0)+\int_{0}^{X0} Fn(X0/(1-x) dx
Мисля че е очевидно защо. В частност за безкрайно n след малко преработки се получава уравнението (не е трудно да се види, че редицата случайни величини е сходяща).

Ето пълно аналитично решение. Малко съм фризирал функциите за хубост.

f(1, Y) = 2 при 1/2<=Y<=1

        = 0 навсякъде другаде



За n>1:

f(n, Y) = Интеграл в граници (1/n, y/(1-y)) от f(n-1, x)*(1+1/x)*dx при 1/(n+1)<=Y<=1/n

        = Интеграл в граници (1/n, y/(1-y)) от f(n-1, x)*dx +

         +Интеграл в граници (y, y/(1-y)) от f(n-1, x)/x*dx при 1/n<=Y<=1/2

        = 1 + Интеграл в граници (y, 1) от f(n-1, x)/x*dx при 1/2<=Y<=1

        = 0 навсякъде другаде