ei zahpod ti be6e dal niakakva zada4a s nikakvi cilindri mislia taka ama predi mnogo vreme (tam ako se prese4at 3 cilindura kvo 6a se polu4i).Shte moje li pak da zadade6 uslovieto kak to4no se presi4at 4e ne moga da namera temata.Mnogo 6te sam ti blagodaren

имаш три цилиндъра с еднакъв радиус, осите на които се пресичат в една точка, и са взаимно перпендикулярни. да се намери обема на общото им сечение.

Ухаа, това много ми хареса! Може ли да се пробвам?
Като си го нарисуваме сечението, се вижда, че то може да се раздели на 48 еднакви четиристена, нещо като тетраедри, само че едната им стена не е плоска, а е цилиндрична. Ако радиусът на цилиндрите е R=1, един от тези четиристени е например ABCD с координати на върховете: A(0,1,0), B(1/sqrt(2),1/sqrt(2),0), C(1/sqrt(2),1/sqrt(2),1/sqrt(2)), D(0,0,0). Трите стени са плоски, а ABC е цилиндрична с уравнение x^2+y^2=1. Не е трудно да се сметне обемът на ABCD: (2-sqrt(2))/6. Следователно, търсената обща част на трите цилиндъра с радиуси R е V=8*(2-sqrt(2))*R^3.

Същия резултат можем да получим и със съвсем елементарни средства. Тялото, чиийто обем трябва да намерим, представлява куб с ръб R*sqrt(2), на всяка от стените на който е постороен по един "купол", който е забележителен с това, че сечението му с равнина успоредна на съответната стена на куба е квадрат, описан около окръжността, която пък е сечението на същата равнина със сферата, вписана в трите цилиндъра (която, между другото, се допира до ръбовете на гореспоменатия куб). Тогава, според принципа на Кавалиери, обемите на "купола" и на сферичния сегмент, който отсича съответна стена на куба от сферата, ще се отнасят както лицата на квадрат и вписания в него кръг, тоест 4:PI. С други думи, за да намерим търсения обем, остава да намерим обема на сферичния сегмент, формула за който се извежда в курса по елементарна геометрия.

Горното може и да не е вярно !

честно казано, аз не можех да реша задачата, докато не си написах програма която чертае сечението. сега като го погледна, наистина това което описваш е май най-лесния начин за решаване.




NE SUTOR ULTRA CREPIDAM

Това решение, ако не се лъжа, дължим на Архимед.

Горното може и да не е вярно !

как е намерил обема на куполите без интегриране? аз поне не се сещам за начин, вероятно твърде много съм се разглезил.

между другото не знаех че по задачата и архимед е умувал. тая задача се породи в един спор между мене и един съученик в седми клас - тръгна от това как работят холограмите (тогава си нямахме и идея как), премина през хипотезата че всеки обект може да се образува като сечение на няколко лазера и накрая достигна до "ако пресечем три цилиндъра ще се получи ли сфера или не". аз твърдях че не, макар че тогава не можех да го докажа. после като се прибрах в къщи се сетих как може да се докаже - общата точка на трите цилиндъра лежи на корен(3) от центъра. после темата я заровихме и така докато не се сетих за тоя стар спор и не я пуснах тука в леко променен вид.

Именно на база на обема на сферичния, или по-точно на кълбовидния сегмент. А обема на кълбовиден сегмент е намерил като разлика от обемите на цилиндър и пресечен конус. Най-много се гордял Архимед, прочетох някъде, с намирането на обема на кълбо. Затова на гроба му има изобразени цилиндър и кълбо.
Ако вземем една полукълбо с радиус R, един кръгов цилиндър и един кръгов конус с радиуси на основите R и височини R, и ги поставим на една равнина, то лицето на сечението на полукълбото с всяка равнина успоредна на дадената ще бъде равно на разликата от лицата на сеченията й с цилиндъра и конуса, или ако конусът е вписан в цилиндъра - на лицето на кръговия венец. И тогава обемът на полукълбото ще бъде равен на разликата от обемите на цилиндъра и на конуса.

Горното може и да не е вярно !

Редактирано от ldle Fellow на 15.06.05 16:11.

Разглеждайки стари теми, тази ме заинтригува. Спазвайки условието, начертах това:

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите