Доколкото ми е известно, парадоксът на Кантор се състои в следното :

Имаме множество А. Нека броят на елементите в множеството да наричаме мощност на множеството.

Множеството от всички подмножества на това множество да бележим с Р(А). Кантор е доказал, че мощносста на А е по-малка от мощността на Р(А), което е и логично - вземете например множество с три елемента.

Парадоксът на Кантор е - ако имаме множество от всички възможни множества и го отбележим с U, то мощността на U трябва да е по-малка от мощността на P(U). От друга страна обаче, тъй като U тъй като U е свръх-множество, неговата мощност трябва да максимална и би трябвало да е по-голяма от мощността на P(U), т.е. има противоречие.

Не ви ли се струва обаче, че 1) Кантор е пропуснал един знак за равенство, който би се появил при празно множество и неговата мощност, и който би решил парадокса, и 2) все пак говорим за безкрайни величини и знака "<" не е просто приложим...

Грешката идва съвсем не оттам, а от допускането, че всяка "съвкупност" от неща може да бъде наречена "множество". В частност, ако можем да допуснем че съвкупността от всички множества е множество, то ще следва че:
а) съществува множество с мощност по-голяма (или равна) от всяко друго. Откъдето парадокса на Кантор, тъй като множеството от всички негови подмножества е със строго по-голяма мощност (пък в същото време по дефиниция се оказва подмножество, а и елемент на изходното).
б) съществува множество, което съдържа себе си като елемент, откъдето парадокса на Ръсел за бръснаря (ако вземем множеството от всички множества, които НЕ съдържат себе си като елемент, то това множество съдържа ли себе си като елемент, или не?).
Само да отбележа, че тая работа с празното множество не е баш както си я написал, щото множеството от неговите подмножества е с мощност 1 (защо?).
Та поради такива едни дупки в интуитивната теория на множествата се е наложило да се построи аксиоматична система, която да дефинира например какво наричаме множество. Тя пък се оказала непълна, както доказал Гьодел за огромно неудоволствие на учителя си Хилберт, който цял живот се мъчил да докаже обратното. Пример за непълнотата е неизводимостта на континуум хипотезата (не съществува множество с мощност строго по-голяма от тази на естествените числа и строго по-малка от тази на реалните).
Такива едни ситни-дребни.

Аз съм го чувал като парадокс на Ръсел, ни както и да е. Цитата е правиленм, и това е (било) парадокс преди 100 години, но сега теория на множествата се оправя адекватно. Оправя се, горе-долу, като казва че съвкупността от всички множества не е множество ами "клас", т.е. друго понятие. Има различни аксиоматики: Например в някои има специален предикат V(X) който твърди, че X е множество, а не клас .. и ако го ползваме, можем да запишем твоите смнения така:

(Ax) (V(x) --> x < P(x))

Думите по-малко по мощност имат смисъл за безкрайни величини, естествено. Понеже дефинираме: две множества X и Y са с еднакви мощности, |X| = |Y|, ако съществува взаимно едно-значна функция (биекция) между тях ID: X --> Y. А пък може да кажем, |X| < |Y| когато имаме инективна функция (вложение) IN: X --> Y, но не и обратното (т.е. можем да намерим само сюрекция SUR: Y --> X).

---
Не ми е много ясно за въпросати с празното множество .. ако можеш поясни. Не би могло да има проблеми с него. Парадокса е отдавна известен, разтълкуван, обяснен .. и е взето адекватно решение.

Не, явно аз съм в грешка :) Nedev обясни твърде добре, благодарности за което, пък и съм само програмист любител-математик ... но не ми стана ясно защо множеството от подмножества на {} да e с мощност 1 - съдържа един елемент, който е - какво? - самото празно множество ли? Самото множество подмножество ли е на себе си, и необходима ли е такава рекурсивност в дефинициите :)

За инекцията и сюрекцията е ясно :) дори се подразбира.
Хора, кажете някаква online литература по въпроса?

Редактирано от н@блюдaтeл на 03.05.05 20:39.

множество от един елемент, има само едно подмножество , тоест пак имаме равенство.

[Sorry, когато писах не забелязах обяснението на Nedev, сигурно не се е било появило, иначе то е достатъчно и не е трябвало да пишащ

Дали става с непразно множество?

(1) Класическия (стандартен) модел на теория на множествата се изгражда стъпка-по-стъпка от празното множество, което се приема за първоначално зададено, и няма нищо друго в света божи:
Ако означим празното множество чрез {} -- или една празна-кошница-наречена-множество -- в нея можен да сложим друга празна кошница, за да получим {{}}, т.е. едно-елементното множество. Може да си играем колкото си щем по този начин: {{} {}} или {{}{{}}{{{}{{}}}}...} не съм броил съответствието на скобите, но трябва отваряща да съвпада със затваряща.

(2) Алтернативно, има модели с "атоми", където освен празното множество {}, има други обекти -- наречени атоми -- които също са множества. Едно-елментни множества. Подмножеството на такова едно-елементно-множество-атом се дефинира да е празното {} -- за да върви бизнеса :)
Обаче това са екстри (безсмислени според мен) .. демек класическия вариант е достатъчно прост и ясен, та с него да моделериме всичко. Никой не е показал нещо, което не може да се моделира с класическия вариант.

Не съм много съгласен:

A = { a }
|A| = 1

P(A) = { {}, a }
|P(A)| = 2

Където:

О = { }
|О| = 0

P(О) = { О }
|P(О)| = 1

И аз съм се напъвал да си представя такова множество, чийто елементи хем можеш да ги подредиш, хем не можеш да ги подредиш :-)

Разбира се ako O={}, to {{}}={O}

да, така е май.
между другото тоя парадокс на кантор винаги ми е звучал като "да вземем числото, сума от всички цели положителни числа...".