между Евклидово и Хилбертово пространство?
Може да е много тъп въпрос, ама все пак искам да знам

Хилберотовите пространства са непосредствени обобщения на евклидовите пространства R с С. В R и С метрика, норма и скаларно произведение се дефинират по стандартният начин. Нека обаче Н е произволно линейно пространство над R или С. Тогава Н е хилбертово, ако е пълно нормирано пространство, с норма, произхождаща от скаларно произведение. Сега Н може да не е R или С и скаларно произведение е изображение на Н х Н в R или С, със съответните свойства. (тук малкото х естествено е декартово произведение). Ако в частност Н=R или С, то между евклидово и хилбертово пространство няма да има разлика.

Нещо не разбирам, скаларно пр-е не се ли дефинира по еднакъв начин в Е и Н? Просто като всяко изображение ЕхЕ в R (C) или HxH в R (C) със съответните 3 свойства?

"В R и С метрика, норма и скаларно произведение се дефинират по стандартният начин."
Или не зацепвам кой е стандартния начин, или той е същия като при хилбертово пространство.

Основната разлика е, че евклидовото пространство е кpайномерно. То, разбира се, е частен случай на хилбертовото. Освен това нормата (и откъдето - разстоянието между точките) в евклидовото пространство е определено (сумата от квадратите на координатите). В едно хилбертово пространство единственото условие за нормата е да е породена от скаларно произведение, което оставя повече свобода при избора.

не е баш така. Ако в R2 дефинираш скаларно произведение (x1,y1)x(x2,y2)=2*x1*x2+y1*y2 това ще породи друга, нeeвклидова норма.

И кое точно прави скаларното произведение, което си написал неевклидово? Достатъчно е да се смени базиса (примерно ортогонализзация по Грам-Шмидт) и ще стане стандартното, канонично произведение.

Не искам да се бъркам в математическа дискусия, но доколкото знам Хилбъртовото пространство е обобщение на крайномерните Евклидови пространства и самото е частен случай на Банахово пространство (нормирано пълно векторно пространство). Всяко векторно пространство, на което има скаларно произведение (x,y) -> <x,y> и което e пълно спрямо нормата дефинирана от ||x|| = (<x,x>)^(1/2) се нарича Хилбъртово пространство. Пример за Хилбъртово пространство, което не е Евклидово, е пространството на случайните променливи с крайна вариация - L2.