dadeno e che v triagalnik ABC LzBC PzAC AL i BP sa saotvetno aglopolovjashti. AL=BP
da se dokaje che AC=BC

Trudna e
Imashe reshenieto tuk v tozi klub predi 3-4 meseca

Айде още веднъж да напиша решение...

Нека тръгълникът е тр.АВС, АL е едната ъглополовяща, а ВP е другата, където L е от ВС и P е от АС. Нека пресечната точка на двете ъглополовящи е О. Тогава СО е третата ъглополовяща. Нека точка T е избрана така, че:
1) T и С са в една полуравнина относно правата (ъглополовящата) АL;
2) <TАL = <СPВ;
3) АT = PC.
Тогава, от условието, че ъглополовящите са равни, т.е. АL = ВP и 2) и 3) следва, че тр.TАL = тр.СPВ по първи признак. Нека Н е от АL, такава, че TН е вътрешна ъглополовяща за <АTL. Тогава TН = СО като съответни елементи в еднакви триъгълници (и двете са ъглополовящи на съответни ъгли в еднакви триъгълници). Нека <САВ = 2а, <АВС = 2в, <АСВ = 2с.

От това, че <АTЕ = <АСL = 2с, като съответни ъгли в еднакви триъгълници, следва, че четириъгълникът АLСT е вписан в окръжност. Тогава <LTС = <САL = а, откъдето <НTС = <НTL + <LTС = а+с. От друга страна <СОL = <ОАС + <АСО = а+с, откъдето <НОС = 180 - <СОL = 180 - (а+с). Следователно <НОС + <НTС = 180 - (а+с) + а+с = 180, т.е. тези два ъгъла се допълват до 180 градуса. Това означава, че четириъгълникът НОСT е вписан в окръжност. От друга страна , срещуположните му страни TH и СО са равни, което е изпълнено точно когато четириъгълникът НОСР е трапец, т.е. НО || TС ( || = успоредни ).
Следователно показахме, че АL || TС.

Оттук <СTL = <TLА = а като кръстни ъгли. Но по построение <TLА = <СВP = в, като съответни ъгли в еднаквите триъгълници тр.TАL = тр.СPВ. Следователно <TLА = а=в. Така получаваме, че <САВ = 2а = 2в = <АВС, което означава, че триъгълникът тр.АВС е равнобедрен и СА=СВ.

mersi mnogo mi beshe polezno