Какво по дяволите означава: arg(z) и какъв резултат връща.

Примери:
arg(1) = 0
arg(-1) = п
arg(2-i2) = -п/4


Последното явно е arctn(2/-2), но предишните имат поведение на sin()?

И още един въпрос...как се намира модул от комплексно число? Корен от сбора на квадратите на реалната и имагинерната части?

"Никоя армия не може да спре идея, чието време е дошло." - Виктор Юго

arg(z) идва от представяне на комплексно число в полярни координати.

Представи си комплексната равнина с абциса Re и ордината Im, и числото z = a + i * b като точка чиято координата по оста Re e Re(z) = a, и координатата по оста Im е Im(z) = b.
Дължината на вектора от началото O до точката z = a + i * b се нарича модул на числото z и се пресмята като |z| = sqrt(a^2 + b^2). Ъгъла който сключва този вектор с абцисата Re се нарича аргумент на z и се пресмята като arg(z) = arctan(b / a). Понеже последното има много решения кратни на 2pi, за главна стойност Arg(z) обикновенно се взема този ъгъл за който имаме -pi < arg(z) <= pi.

Представянето в полярни координати се записва още чрез

(1) z = |z|*exp(i*Arg(z))

което идва от формулата на Ойлер exp(i * x) = cos(x) + i * sin(x)

Обратно, ако числото z ни е дадено в полярните координати (1) веднага можем да пресметнем алгебричния му вид z = a + i * b чрез a = |z| * cos(Arg(z)) и b = |z| * sin(Arg(z)).

Тези формули за превръщане на z от полярни координати в алгебричен вид и обратно се извеждат, като си начераеш чертеж и използваш малко проста тригонометрия.
Само формулата на Euler е по-трудна. За да се изведе е необходимо малко анализ - развитието на exp(x) в ред на Тейлор: exp(x) = 1 + x + x^2/(2!) + x^3/(3!)+ ... сигурно сам ще се досетиш как става.

Използвал съм означения sqrt(x) = "квадратен корен от x", arctan(x) = "аркус тангес от x" и exp(x) = "числото e=2.71... повдигнато на степен x", a^2="a на степен 2", a*b="a умножено по b".

Как тогава
arg(-1) = п ? arctg(0/-1) в никакъв случай не е п!

"Никоя армия не може да спре идея, чието време е дошло." - Виктор Юго

ami
-1=cos(pi)+isin(pi). Ta zatova arg(-1)=pi.

Razbira se, tova, che tan(arg(z))=b/a, ne oznachava, che arg(z)=arctan(b/a). Nali si spomnyash za oblastta ot stoinosti na arctan. Ako ne, pripomni si go.

Boian

arg(z) не е просто arctan(b / a) а означава ъгъла между Re и онзи вектор за който стана дума.

Както виждаш проблема идва от там, че arctan(x) е нееднозначна и получава главните си стойности в интервала (-п/2, +п/2). За случая имаме arctan(0) = k*п, или възможни стойности са ..., -2п, -п, 0, п, 2п, ...

Ако си направиш чертеж в комплексната равнина най-добре се вижда защо трябва да се вземе Arg(-1)=п, а не трябва да вземаме Arg(z)=0 или Arg(z)=2п.
Цялата работа е в полярните координати.
Разсъждавай със полярните координати.


Алгебрично нееднозначността се решава от определящото уравнение за arg(z), което при z = a + i * b е следното

|z| = sqrt(a^2 + b^2)

a = |z| * cos(phy)
b = |z| * sin(phy)

arg(z) = phy

Ако означим спрегнатото на z = a + i * b число със ~z = a - i * b имаме още едно условие, което ни помага да определим стойнастта на arg(z):

arg(~z) = - arg(z)

С други думи Arg(z) е ъгъла измерен от абцисата Re до вектора z като за полужителен ъгъл се приема посоката обратна на часовниковата стрелка. Специално за 180 градуса имаме две стойности -п и п. Можем да вземем която и да е от тях.