Тормози ме една задачка.

Имаме материален пръстен с радиус R и маса М, равномерно разпределена по окръжността на пръстена. Разглеждаме движението на материална точка с маса m, движеща се по оста на симетрия на този пръстен, перпендикулярна на равнината в която е той. Ако в момент t=0 тази точка е на височина H oт тази равнина и има скорост в тази точка V=0, идеята е да се намери периодът на колебанията които тя ще извършва пресичайки равнината на пръстена под действие на гравитацията.

Уравнението на движение лесно се пише, но периодът не е толкова очевидно как да се получи, а директно от решението - хептен. Някакви идеи?

Когато H << R имаме гравитационна сила към центъра на масата на пръстена, пропорционална на разстоянието до този център, и в това приближение уравнението се свеждат до просто хармонично колебание. Но е интересно общото решение.


Допълнителен вариант на задачата:
Ако материалната точка пресича равнината на пръстена в центъра на масата му под някакъв ъгъл, да се намерят условията (ъгъл и скорост) при които траекторията на тази точка ще бъде симетрична (като осморка) около пръстена. Идеята има и продължение - да се изследва устойчивостта на такава орбита, но това е вече висш пилотаж...

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Какво е уравнението? Или по-добре каква е силата с която пръстена привлича тялото?

За уравнението се получава:

F = k.r/(r^2 + R^2)^3/2

F - силата на привличане към центъра на масата на пръстена
R - радиуса на пръстена
r - разстояние до центъра на масата на пръстена
k - константа, включваща масите на точката и пръстена.

Като знаем че F = m.a = m.r'', получаваме уравнението. Но според мен за получаване на периода (или все едно, времето за което ще се стигне от зададена позиция до центъра на масите), директното му решаване е безперспективен път.

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Предполагам, че няма да стане с директни сметки, аз питах от любопитство. В мойте сметки някъде се появи една двойка, явно нещо съм 'бройл' два пъти.

С какво ще се промени задачата, ако вместо пръстен разглеждаме нула-мерния вариянт. Две тела с дадени маси на разстояние 2R и точката се движи по симетралата?

Интересното е, че уравнението може да се реши в квадратури, което не помага, но на пръв поглед очаквах нещо съвсем заплетено.

Задачата ми харесва. Идва ли от някъде или просто ти е хрумнала и ти се е сторила интересна?

Хрумна ми задачата, като разглеждах възможности за не обратно квадратична сила на привличане.

Иначе да, еквивалентна е на нула-мерния случай, само дето трябва допълнително условие че разстоянието между двете тела не се променя с времето (или те не се привличат едно друго :). Тя общата дето съм дал формулата така се извежда, след като проинтегрираш по много такива двойки тела, разположени по окръжност.

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Да, сега си схванах грешката. Разглеждал съм цяла окръжност от двойки, а не половин и от там два пъти по-голяма сила ми излиза.

Както и очаквах нищо хитро не ми хрумна, но като се реши уравнението, периода може да се представи като фунция на параметрите. По-точно на интеграл, който принципно може да се сметне. Резултата е доста кофти на вид, което ме кара да се съмнявам, че нещо хитро може да се направи.

хе, щях да кажа "сметни го за малко отклонение", ама се усетих че не може

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

след малко размисъл:
все пак има нискоамплитудно решение. за малки отклонения силата е k*r/R^3 което е хармоничен осцилатор с честота sqrt(k/R^3)/2*pi
за големи отклонения е очевидно нелинейно и да се търси формула няма смисъл, понеже не е синусоида. който обаче е майстор, може да сметне спектъра

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Като се реши уравнението се получава разстоянието r до центъра на масата на пръстена като функция от времето. И ако се положи r = 0, се получава уравнение за полупериода (времето за което се достига центъра от зададената начална позиция). Само че е много неприятно това уравнение. Сори...

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите