Може да Ви изглежда невероятно, но от две години питам редица физици от ПУ каква е разликата между контравариантен и ковариантен тензор.

Оказа се, че някои от тях не знаят ще е това "ко-" и "контра-". Други се учудиха, че може да има тензор ко- по някои координати и контра- по други.

Та въпросът ми е:

Какъв е физическият смисъл на ко-вариантност по една координата и контра-вариантност по друга. Не питам за формули - тях ги знам от една книжка на Илин и Позняк (Линейная алгебра). По едните се преобразува с едни матрици, а по другите с други.

но от две години питам редица физици от ПУ
Кво значи това ПУ?

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

"Други се учудиха, че може да има тензор ко- по някои координати и контра- по други. "

Всъщност, разликата между ко- и контра- е в наичина, по който сменяш координатите чрез частна производна, наречена ковариантна или контравариантна.
В 4-мерното пространство-време, производните ко- и контра- не съвпадат, и поради това трансформациите на Лоренц се записват като тензор с горен и долен индекс.
В обикновенното 3D Евклидово пространство, производните ко- и контра- съвпадат.

Физическият смисъл е свързан със смяната на координатната система, например как се трансформира скоростта, импулса и т.н. в 4-мерното пространство-време.

За физическия смисъл не знам, но самото понятие тензор става по-ясно ако погледнеш съвремено изложение. Там където е дефинирано както трябва, а не като набор от числа с индекси, които се преобразуват по даден начин.

Потърси и чети "compatibility condition Marsden i Hughes (1983)"

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Физическият смисъл на ковариантните компоненти е следният.
Физическите величини се определят чрез вектори, тензори и други подобни математически обекти. Всички те се преобразуват по определени линейни закони между две координатни системи. Физическите закони, изразени чрез тези величини с тяхните ковариантни компоненти, имат свойството при такова преобразуване с определен клас трансформации да запазват формата си. Което е математическият израз, че физическите процеси не зависят от избора на инерциална система, демек на принципа на относителността :)

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Пловдивски университет.

Само да допълня, че съм питал 4-5 човека, а не всички физици.

съм се занимавал малко по-подробно с тях. Това са инерчният момент и тензора на поляризуемостта, който се изучава в Раман спектроскопията.

И двата според мен са ковариантни по трите си координати.

Дайте пример, каква трябва да е координатата, за да бъде тензора контравариатен по нея.

Всъщност, коя координата в кой тензор е контравариантна?

"Всъщност, коя координата в кой тензор е контравариантна?"

Значи, няма ковариантна или контравариантна координата на тензор (или вектор). Има ковариантна или контравариантна КОМПОНЕНТА. Всички компоненти едновременно са или единия, или другия тип.

Ще ти дам пример, за вектор. По определение:
ако е дадена произволна база (а1,а2,...аn) в едно векторно пространство Аn, то:
- контравариантни компоненти на векторът x по тази база са числата Xi, за които имаме:
x = suma(i=0..n) (Xi . ai)
т.е. контравариантните компоненти ще ги получиш като решиш тази система от уравнения.

- ковариантни компоненти по тази база са числата xi, определени чрез скаларните произведения
xi = x . ai

За тензори е съвсем подобно, просто тaм сумите са повече.
Всяка група компоненти сама по себе си напълно описва вектора (тензора, спинора и т.н. други обекти) и е достатъчна за работа с него. Двете групи са свързани с линейно преобразование, но тука задълбаваме вече съвсем в математиката.

Идеята на горното е следната - един и същи тензор можеш да го представиш или с ковариантните му, или с контравариантните му компоненти - демек ще имаш две различни матрици, с различни числа в тях, изразяващи един и същи конкретен обект. Когато имаш зададен тензор, трябва да знаеш в какви компоненти е зададен, за да използуваш правилните операции върху него. Обикновено физическите закони се формулират просто в ковариантните компоненти. Но за гъдел можеш да ги преобразуваш в контравариантните :)

Само да допълня - в декартова координатна система, т.е. An е евклидово ппостранство и базата му е ортогонална, ковариантните и контравариантните компоненти съвпадат.

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Редактирано от geri® на 02.07.08 14:11.