Може ли да кажете, защо толкова широко във физиката се
използва апарата на функциите на Грин, каква основна идея
е заложена в тях и дали тази идея е фундаментална?

Гриновите функции намират по-широко приложение в теория на
полето, където те могат да се отъждествят със съответните амплитуди
за преход и удволетворяващи определени изисквания, например
произтичащи от условията за причинност и унитарност.
Друг е въпросът, че самите функции имат определен тип сингулярност,
и затова амплитудита за даден процес, смятана по теория на пертурбациите, се представя с ултравиолетово разходящ интеграл.
Проблемът се решава с т.нар. пренормировка на полето и параметрите
фигуриращи в Лагранжиана, самият който определя дали теорията е
пренормируема(или изчислима). Така че по-скоро функциите на Грин
са изчислителен инструмент(мощен), докато по-фундаментален е
принципът на симетрия (според мен).
Надявам се отговорът да ти послужи,

kakvo e ultravioletovo razhodyasht integral?

chovek koito ne znae kakvo e funkcia na Green, edva li shte razbere neshto ot "prenormirovka na poleto"

Funkciite na Green sa udoben aparat za reshavane na chastni diferencialni uravnenia.

Функциите на Грийн имат много прост и ясен математичен и физичен смисъл. За да ги разбереш напълно ще ти трябва пълен курс по частни диференциални уравнения, но тук ще се опитам да направя кратък обзор.

Функция на Грийн е такова решение на частно диференциално уравнение, което има делтаобразен източник (понятието източник идва от това, че частните диференциални уравнения обикновено описват динамични или статични проблеми с полеви характер, където полето има източници и стоци) и нулеви гранични условия. Цялата идея, е че решенията на линейните ЧДУ могат да се представят като суперпозиция на безброй много "елементарни" решения, като последните именно са функциите на Грийн. Когато в граничен преход замениш сумата с интеграл, то интеграл от делтаобразните източници по цялото пространство дава всъщност функцията на пространственият източник, докато интеграла от гриновите функции дава решението на диференциалното уравнение.

Така функциите на Грин са един удобен инструмент за решаване на частни диференциални уравнения. Връзката с физиката е особено очевидна в оптиката или електродинамиката в случаите на излъчване. Там има принцип, според който всяка точка от даден вълнови фронт става източник на нова вълна, а суперпозицията на всички новоизлъчени вълни дава новият фронт. В случая всеки точков източник създава в дадаен момент от време t вълна с определена амплитуда, която се разпространява с дадена скорост. Именно това е гриновата функция на вълновото уравнение - излъчена в момента t вълна от точков източник с единична мощност. След като се нормира с някакъв коефициент и се проинтегрира по всички вълнови източници (направи се суперпозиция от гринови решения) във всички по-задни моменти от време, се получава търсеното решение във вид на нова вълна, представляваща вълновият фронт.

Превид факта, че по-голямата част от математичната (а и не само тя) физика широко използва апарата на частните диференциални уравнения, то мисля ще разбереш защо функциите на Грийн заемат такава централна роля. А за фундаменталността, мисля всичко е очевидно.

Ултравиолетова разходимост (или катастрофа) означава, че при пресмятане на интеграла върху всички възможни честоти от нула до безкрайност, се получава разходящ (клонящ към безкрайност) интеграл. За пример може да полужи енергетичната светимост на идеално черното тяло, пресмятана преди по класически съображения, според които енергията расте с повишаване на честотата. След интегриране се оказва, че едно черно тяло трябва да излъчва безкрайно много енергия в ултравиолетовата и нагоре част на спектъра, поради което проблемът с разходимостта на енергетичният интеграл е наречена "ултравиолетова катастрофа".

Хубаво е че по поставения вълрос има много добро обяснение от
страна на sp. Примерът с електродинамиката е много добър,
уравненията на Максуел са линейни и е в сила принципът за
суперпозиция.
Интересно е ако може да се дадат примери за структурата на решенията, когато уравненията за полето не са линейни, например в гравитацията
имаме уравнение на Хилберт-Айнщаин, в т.нар. SU(N) Янг-Милс също
уравненията за полето са нелинейни, и т.н.
Какви физични явления биха били наблюдавани? Например ще има
решения във вид на плоски вълни с безкрайна енергия, но крайна плътност
на енергията, но такива решения не могат да се налагат едно друго(за разлика от електродинамиката), за да получим рещение с крайна енергия.
Сигурно съществуват и решения с крайна енергия, но те съдържат някои
сингулярности, и затова трябва да съществуват сингулярни източници и т.н.
Бихте ли дали примери и ако може да ги сравните с електродинамиката?

Bi li mi dal primer s konkreten integral. A kakvo go pravite kogato integralut e razhodyasht? Prilicha mi donyakyde na singularnite integrali ot harmonichniya analiz.

M/u drugoto, imam izvestna predstava ot funkciite na Green. No samo ot glednata tochka na eliptichni Ch. diff. u-ya.

B

Какво го правим ли? ... Ами... търсим грешката в теорията ;-)

А пример за ултравиолетова разходимост е формулата на Релей-Джинс за равновесната плътност на излъчването на идеално черно тяло, изведена от термо- и електродинамични съображения:
rho = 2/(pi*c^3)*omega^2*k*T
(извинявам се за лошото ASCII представяне на формулата, но се надявам че се чете)
Тук omega = 2*pi*f е кръговата честота на лъчението. Забележи квадратичната зависимост на плътността на енергията от честотата. За да се получи пълната енергия на лъчението трябва да се интегрира по всички честоти от 0 до безкрайност, при което се получава очевидно разходящ интеграл.
Решението намира Планк, като въвежда квантовата теория на излъчването, при което получава за rho:
rho = 2*hbar*omega^4/(pi*c^3)*1/(exp((hbar*omega)/(k*T-1)))
(hbar = h/(2*pi) е редуцираната константа на Планк)
Този израз за rho клони към нула при omega клонящо към безкрайност, при което интеграла не само че не е разходящ, ами и дава формулата на Стефан-Болцман :-)

Така че с ето ти, с един пример, отговор и на двата въпроса - и пример за разходящ интеграл, и пример за "решаване на проблема" с нов подход към изучаването му :)

Объркал съм се с толкова много скоби във формулата на Планк. Експонентата е 1/(exp((hbar*omega)/(k*T))-1). Не че това променя коренно нещата, но все пак физиката е точна наука и подобни грешки са недопустими :-)